<<
>>

§2. Издержкивдолгосрочномпериоде.


Как известно из предыдущей главы в долгосрочном периоде у фирмы не существует постоянных факторов производства; все факторы являются переменными. Поэтому на долговременном этапе у фирмы нет и постоянных издержек; все издержки являются переменной величиной.

Здесь мы предполагаем, что руководитель предприятия хочет произвести не любой, а вполне определённый объём продукции. Понятно, что этот выпуск может быть осуществлён с различными денежными затратами. Но фирме хотелось бы, чтобы эти затраты были наименьшими. Поэтому целью данного параграфа является решение задачи минимизации издержек при требуемом уровне выпуска. Решение этой задачи будет базироваться на следующих предпосылках.
Как и в предыдущей главе, предположим, что фирма производит однородный продукт, а не широкий ассортимент различного рода товаров. Используемые в производственно процессе факторы производства также однородны, т.е. фирмы использует рабочих одинаковой квалификации, сырьё – одинакового качества и т.д. Следовательно, здесь речь пойдёт только об изменении количества затрат факторов производства и об изменении объёма выпускаемой продукции. Кроме того, предположим, что факторы производства покупаются на совершенно конкурентных рынках, т.е. фирмы могут купить (или продать) все нужные им услуги факторов по сложившейся на рынке цене, а
104

сами не в состоянии повлиять на эту цену. Последнее означает, что цены факторов производства являются с точки зрения фирмы постоянной, а не переменной величиной.
Графический анализ минимизации издержек при заданном уровне выпускатребует допущения об использовании фирмой только двух факторов производства. Пусть это будут труд -L- измеряемый в количестве человеко-часов и капитал -K, - измеряемый
машин и оборудования за тот же период времени. Пусть цена труда равна ставке заработной платы w, а цена капитала - арендной плате за оборудование r. Здесь мы предполагаем, что капитал не покупается в собственность, а арендуется.
Графически общие, или валовые, издержки могут быть представлены линией изокосты, показывающей все возможные сочетания труда и капитала, которые имеют одну и ту же суммарную стоимость, т.е. все сочетания двух факторов производства с равными валовыми издержками. Чтобы увидеть, как выглядит изокоста, вспомним, что валовые издержки TCна производство определённого объёма продукции равны сумме издержек на оплату рабочей силы wLи капитальных издержек rK: (6.1)    TC=wL+ rK.
Для каждого значения валовых издержек уравнение (6.1) графически выражается отдельной
изокостой.  Например,  изокоста   C   на рис.  6.1   описывает все  возможные  сочетания  факторов
Апроизводства, приобретение которых обходится в  C
KM
денежных единиц.
Если мы перепишем уравнение валовых издержек
C              (6.1) как уравнение для прямой линии, мы получим
(6.2)K =--    ?L
rr
Легко увидеть из рис. 6.1 и уравнения (6.2), что
(6.3)tg?-—= —
?Lr
L
Таким    образом,    тангенс    угла    наклона    изокосты
Рис. 6.1L              показывает,    от   какого   количества   капиталозатрат
должна отказаться фирма, если она хочет увеличить затраты труда на  1  единицу и сохранить
неизменными общие издержки на покупку факторов производства.
В конечном счёте это будет
зависеть от соотношения цен факторов производства, сложившихся на рынке.
105

Предположим, что фирма хотела производить yединиц продукции за определённый период
времени. Изокванта на рис. 6.2 представляет собой технологическое ограничение фирмы, т.е. все
комбинации   затрат   труда   и   капитала,

K
которые дают одинаковый и желательный для фирмы выпуск- y.
K2

Рис. 6.2 показывает решение данной проблемы. Предположим, фирма хотела бы    потратить     C0     на    приобретение
K1 K3
факторов производства. К сожалению, ни одно сочетание факторов, которое позволило бы фирме достичь объём выпуска y, не может быть приобретено
L1
Рис. 6.2.
L2
L3 C2
затраты труда
L
на   сумму    C0.    Выпуск   продукции   y
может быть достигнут при затратах C2 с
использованием K2единиц капитала и L2
единиц труда либо K3единиц капитала и L 3 единиц труда. Но C2 больше минимальных издержек.
Тот же выпуск продукции y может быть достигнут более дешёвым способом при издержках C 1 за
счёт использования K1 единиц капитала и L 1 единиц труда. Фактически изокоста C 1 является самой
нижней из тех, которые позволяют фирме выпускать y единиц продукции. Таким образом, набор
факторов производства L 1 и K1, минимизирующей издержки, определяет точка касания изокванты
y и изокосты C 1. В этой точке тангенсы углов наклона изокванты и изокосты одинаковы.
Следовательно, для того, чтобы минимизировать издержки при любом заданном уровне выпуска-y,- фирме следует производить в той точке на изокванте y-y, в которой MRTSравна соотношению цен факторов производства:
wMRTS= r
(6.4)
В нашем анализе технологии производства мы показали, что норма технологического замещения (MRTS) труда капиталом равна соотношению предельных продуктов труда и капитала:
MRTS=-? K=MPLM    .
/PK
Выше мы отмечали, что изокоста имеет наклон ?K/?L= -w/r. Из этого следует, что когда фирма минимизирует издержки производства при некотором объёме выпуска, выполняется следующее условие:
106

MPL
(6.5)LMP= wr
Перепишем его в другой форме:

(6.6)

MPL

MPr

Уравнение (6.6) показывает, что при минимальных издержках каждый дополнительный рубль затрат на производственные факторы добавляет одинаковое количество выпускаемой продукции.
Формализация задачи минимизации издержек.Графический анализ весьма иллюстративен. Однако он не является достаточно корректным способом решения задачи. Поэтому необходимо провести формальный анализ проблемы для случая с nфакторами производства.

Пусть x1
, x2,..., xn
количества
w1,w2,.
,w
цены
используемых производственных факторов, а
этих факторов, задающиеся рынком. Пусть y-объём выпуска, который желает произвести фирма за данный период времени, а C-денежные расходы фирмы на покупку факторов производства. Причём,   w1,..., wn> 0   и   C >0.   Предположим,   что   технология   описывается   производственной
функцией f( x1,...,xn), которая является строго квазивогнутой, непрерывной и дифференцируемой во
всех   точках.    Для    нашей    проблемы    f(x1,...,xn) = y,    где    y= const.    Причём,     f(0,...,0) Предположим, наконец, что наша задача имеет внутреннее, а не угловое решение, т.е. x 1,..., xn> 0.
Представленная формально проблема минимизации издержек при заданном уровне выпуска имеет вид:

(6.7)

min w,x, +... + wnxn
11
x ,...,x
f(x1,.
,xn) = y.

при условии, что

Это задача на безусловный экстремум, поэтому решим её методом множителей Лагранжа. Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи: (6.8)    L= w1x1 +... + wnxn-??(f(x1,...,xn)-y) >min
Условием   первого   порядка   минимизации   издержек   является   равенство   нулю   всех   частных производных функции Лагранжа:

? f(x1,..., xn) =0A
(6.9)


? x
? x1
xn)
?f(x1
w- ??
1
? x
;
? L? f( x1,..., xn)    0
= wn- ??=
? x? x
? ?
f(x1,...,xn)-y= 0

107

Условие 2-го порядка включают в себя и необходимые условия 1-го порядка, а кроме того нужно рассмотреть гессиан:

Ж
дx 1
d2f
dx12
d2f

H2




дx2дx 1

(6.10)

det
дx 1
Ж
Vx2
H3<0;...1Hn+1 <0.

Ж
дx2
д2f
дx1дx2
d2f
дx2 их2j

<0

Произведя  несложные  преобразования  с  первыми  двумя уравнениями  из  системы  (6.9), получаем:
w
w
f( x1, x2)/           #(x1, x2)/
(6.11)        1   =/x1/x2
л
Это означает, что предельная производительность фактора производства в расчёте на 1 ден. единицу, израсходованную на покупку этого фактора будет одинакова для всех используемых факторов производства. Другими словами, соотношение предельной выгоды(т.е. возросшего выпуска) к предельным издержкам должно быть одинаковым для всех факторов производства, действующих в производственном процессе.
Легко также видеть, что

(6.12)

Шx1,x2)/
/дx1= w1MP1(x1*,x2) = w1
дx
df(x1,x2)/    w2 , т.е. mp2(x1,x2)w2
2



(6.13)   Значит,

MRTS

2->1

w1 w2

, что и требовалось доказать.

Произведя аналогичные преобразования с любыми двумя строками системы (6.9), получаем:

(6.14)

df


dx

MP^

Функции условного (conditional) спроса на факторы производства.Решив задачу минимизации издержек мы получим оптимальные количества 1-го и 2-го фактора производства, которые будут зависеть от цен эти факторов производства и от требуемого объёма выпуска:

(6.15)


h1(w
, y)
1      wn
x2=h2(w1,...,wn,y)

Полученные  при  решении  этой  задачи  оптимальные  количества  факторов  производства
являются функциями, так как они зависят от некоторых переменных. Эти функции называются
108

функциями условного спроса на факторы производства. Она показывают зависимость между количеством факторов, минимизирующим издержки фирмы, с одной стороны, и уровнем выпуска и ценами факторов с другой стороны.
Функции издержек фирмы.Если изменится цена на любой из факторов производства или если фирма пожелает работать при другом уровне выпуска, тогда оптимальным станет другой набор факторов производства. Эта зависимость может быть суммирована как функция издержек. Функция издержек показывает минимальные денежные затраты, которые должна осуществить фирма, чтобы достичь некоторого заданного уровня выпуска при определённых ценах факторов производства, сложившихся на рынке:
C(w1,...,wn,y) = w1x 1+...+ wnxn=w 1 h 1(w1,...,wn,y) + ... + wnhn(w1,...,wn,y)
(6.16)
при w1,...,wn>0иy>f(0,...,0).
Обратите   внимание   на   то,   что   если   xi ^xi*,    где   i= 1,...,n,   тогда   C = w1x1+... + wnxnнельзя
рассматривать как функцию издержек.
Выражение (6.16) показывает общие, или совокупные, или валовые, издержки фирмы. Однако в экономической теории не менее важными являются понятия средних и предельных издержек. Функция средних издержек может быть представлена следующим образом:
(6.17)AC(w1,...,wn,y)= C(wyW")
Средние издержки показывают, во что обходится фирме производство одной единицы продукции в среднем. В реальной отечественной практике это называются себестоимостью единицы продукции. Предельные издержки являются первой производной функции общих издержек:
(6.18)MC(w 1,...,wn,y)= dC(w yW")
Они показывают, как изменяются минимальные денежные затраты фирмы при производстве одной дополнительной единицы продукции.
Все перечисленные выше функции - (6.16), (6.17) и (6.18) - являются однородными первой степени по ценам факторов производства. Действительно, \/а > 0
C(a-w1,...,a-wn,y) = a-w1x 1+...+ a-wnx*n= oc-C(w1,...,wn,y).
AC(a-w1,...,a-wn,y) =                             = a-AC(w1,...,wn,y)
y
da-C(w1,...,w )
(6.21)MC(a-w1,...,a-wn,y) == a-MC(w1,...,wn,y)
dy
Экономический смысл этого математического утверждения состоит в следующем. Если цены всех факторов производства увеличатся в одно и то же число раз, то в такое же число раз возрастут и издержки фирмы:  общие,  средние и предельные.  Следовательно, у  фирмы не будет стимулов
109

изменять свой выбор оптимального количества факторов производства, минимизируя издержки при том же самом уровне выпуска.
Обратите внимание, что до сих пор мы везде рассматривали уровень выпуска как фиксированную величину. Но с течением времени он может изменяться, а значит, будут меняться и минимальные издержки фирмы. Давайте проведём графический анализ издержек и посмотрим, как они зависят от объёма производства. В этом случае предположим, что цены факторов производства остаются неизменными. Следовательно, издержки становятся функциями от одной переменной: C(y), AC(y), MC(y). И мы можем представить их графически. Если же изменятся цены факторов производства, то кривые просто сместятся вверх или вниз.
Графический анализ функций
долгосрочных издержек.Мы показали, как
фирма выбирает сочетание производственных
факторов, чтобы достичь желаемого объёма
выпуска с наименьшими издержками. Теперь
Траекториямы продолжим анализ, чтобы увидеть, как
развитияиздержки фирмы зависят от объёма выпуска
продукции. Чтобы сделать это, определим для каждого объёма производства количество факторов, которые минимизируют издержки.
На рис. 6.3 показан результат данного анализа.
ТрудL
Рис. 6.3Каждая точка -A, B,C, Dи   E- представляет
собой точку касания изокосты и изокванты фирмы. Кривая, идущая наверх и вправо от начала
координат  и  соединяющая  точки  касания,  является  траекторией  расширения  экономической
деятельности. Эта линия включает все сочетания труда и капитала, которые выберет фирма, чтобы
минимизировать издержки для каждого объёма производства. Если использование обоих факторов
производства увеличивается по мере роста выпуска продукции, кривая будет выглядеть примерно
так, как на рис. 6.3. Траектория расширения экономической деятельности фирмы предоставляет
информацию об издержках на все переменные факторы производства при изменении выпуска
продукции   фирмы.   Она   показывает,   что   существует   прямая   зависимость   между   объёмом
производства и издержками фирмы.
Чтобы увидеть, как меняются издержки по мере движения вдоль траектории расширения
экономической деятельности на долговременном этапе, мы можем посмотреть на графики средних и
предельных долговременных издержек. Наиболее важным определяющим фактором формы этих
графиков является то, каким будет эффект масштаба – возрастающим, постоянным или падающим.
Предположим, например, что для производственного процесса фирмы характерен постоянный
эффект масштаба для всех объёмов производства. Тогда удвоение используемых факторов ведёт к
110

увеличению объёма производства в 2 раза. Так как стоимость факторов производства останется неизменной при увеличении объёма выпуска продукции, средние издержки производства должны быть теми же для всех объёмов производства.
Теперь предположим, что эффект масштаба возрастающий. Удвоение используемых факторов производства ведёт к увеличению объёма выпуска продукции более чем в 2 раза. Тогда средние издержки производства снижаются, так как удвоение издержек связано с более чем двукратным ростом выпуска продукции. По той же логике при падающем эффекте масштаба средние издержки производства должны расти вместе с объёмом производства.
В более общем виде это можно представить следующим образом. Пусть дана производственная функция:
y = f(x1,...,xn) и y-требуемый выпуск Тогда общие издержки фирмы:
C(y) = w1?x1(y) + ... + wn?xn(y) А функция средних издержек:
LAC(y) =
Предположим далее, что производственная функция (6.22) является однородной функцией степени t, и фирма увеличивает затраты всех факторов производства в m раз. Тогда выпуск продукции составит:
(6.25)ym=f(m?x1,...,m?xn)= mt?f(x1,...,xn)= mt?y
При этом очевидно, что общие издержки фирмы возрастут в m раз:
C(ym) = w1?(m?x1)+ ... + wn?(m?xn) = m?[w1?x1 +... + wn?xn]= m?C(y) Тогда долгосрочные средние издержки можно отразить следующим образом:
LAC(ym) =       =      t= t?LAC(y)
ymm ?y      m
Как вы помните из предыдущей главы, при t> 1 наблюдается возрастающая отдача от масштаба. Следовательно, в выражении (6.27) знаменатель растёт быстрее, чем числитель, и LAC(ym) LAC(y), т.е. средние издержки возрастают.
111

На рис. 6.4-б убывающую отдачу от масштаба иллюстрирует та часть кривой средних издержек, где последние возрастают. Отметим, что возможность достижения того или иного эффекта от роста
масштаба     производства     зависит     от
C
характера производственного процесса.
Практически для всех предприятий при
относительно низких объёмах выпуска
продукции, т.е. на этапе первоначального
расширения              производства,              будет
LAC LMC
LAC(y)
наблюдаться положительный эффект роста
масштаба производства. Он выразится в
снижении издержек на единицу
выпускаемой продукции, т.е. в снижении
средних издержек. При относительно
высоких объёмах выпуска продукции на
многих предприятиях будет иметь место
отрицательный эффект масштаба,
выражающийся в повышении издержек на
единицу продукции, т.е. в повышении
средних издержек. Это характерно для
строительных фирм, предприятий сферы
услуг, где производственный процесс
является              более              трудоёмким.
y
Положительный эффект масштаба будет проявляться в течение более продолжительного     времени     в    таких
Рис. 6.4-б
отраслях,   как   автомобилестроение,   энергетика,   химическая   промышленность,   так   как   здесь
требуются существенные капиталовложения в оборудование, которое по самим своим размерам
является весьма объёмным. Поэтому понятие эффекта масштаба имеет не только теоретическое, но и
практическое  значение.  При  прочих  равных  условиях  чем  больше  эффект  роста  масштаба
производства, тем более крупные фирмы действуют в той или иной отрасли промышленности.
Именно    увеличивающимся    эффектом    масштаба    объясняется    существование    естественных
монополий, речь о которых пойдёт в 9-й главе.
Кривая   долгосрочных   предельных   издержек    LMCопределяется   с   помощью   кривой
долговременных средних издержек. Она находится ниже кривой долговременных средних издержек,
когда LACснижается, и выше, когда LACрастут, как показано на рис. 6.4-б. Это следует из
правила  взаимосвязи  между  средними  и  предельными  величинами,  речь  о  которых  шла  в
предыдущей главе применительно у анализу среднего и предельного продуктов. Из этого правила
112

также следует, что LMCпересекает LACв точке минимума средних издержек. Кроме того, долгосрочные предельные и средние издержки равны друг другу при производстве первой единицы продукции:
(6.28)    LMC(1) =   — == —— = LAC(1)
?y1-0              1
Здесь C(0) = 0, так как фирма не несёт никаких издержек при нулевом объёме выпуска. Вы можете
доказать то же самое, используя правило Лопиталя.
Кривая общих издержек в долгосрочном периоде представлена на рис. 6.4 а. Поскольку общие
издержки есть первообразная функции предельных издержек, то их график воспроизводится из
кривой LMC. Функция C(y) растёт замедленным темпом на том участке, где предельные издержки
убывают. Общие издержки увеличиваются с ускорением при тех уровнях выпуска, где предельные
издержки растут.
<< | >>
Источник: Неизвестный. Лекции по экономике. 2013. 2013

Еще по теме §2. Издержкивдолгосрочномпериоде.:

  1. ТЕМА 11 Империя на Востоке: Арабский халифат
  2. Рассказ о походе Хулагу-хана на Багдад, обращении гонцов между ним и халифом и исходе тех обстоятельств
  3. ТЕМА 10 Византия и Балканы в VШ-Xвв.
  4. СИМЕОН (Симеон Великий) (864? — 27 мая 927)
  5. ИКОНОБОРЧЕСТВО
  6. Иконоборство
  7. ТЕМА 9 Византия в VIII-X вв.
  8. СЕРЕДИНА IX в.
  9. КЛЮНИЙСКАЯ РЕФОРМА
  10. КЛЮНИЙСКИЙ ОРДЕН
  11. КАПЕТИНГИ (Capetiens)
  12. Общественная и политическая системы средневековья
  13. Франкское государство при Каролингах
  14. ТЕМА 8 Оформление феодальных структур (IX-X) Региональные особенности процесса становления феодальных структур Становление основ культуры феодального времени
  15. РЫЦАРСТВО
  16. Франкская монархия Каролингов Ускорение процесса феодализации. Бенефициальная реформа.