<<
>>

§ 1. Числовая и буквенная алгебра с методической точки зрения.

Обычно начинают изучение алгебры с буквенных формул, сперва учатся определять их числовое значение, затем производить над ними действия, а числовая алгебра является уже позже108.

Но мне представляется это методической ошибкой.

Решение числового уравнения усваивается целиком гораздо легче, чем решение уравнения буквенного. Обозначение неизвестного каким-либо символом - более простая идея, чем обозначение символами различных величин, предполагаемых заданными, но тем не менее имеющими произвольное значение.

Каждый из учителей знает то затруднение, которое возникает при решении буквенных уравнений признание членов а3х, 2а3х, ах подобными в противоречии с раньше устанавливаемым понятием подобия.

К числовой алгебре следует подводить уже при решении арифметических задач, согласно историческому ходу алгебры, представляя решение сперва в риторической1"'1 затем синкопированной110 и, наконец, символической форме, но производя те именно операции, которыми задачи эти решает алгебра.

Привожу примеры1":

10 грифелей и 20 карандашей стоят 1 р. 20 к.

10 грифелей и 25 карандашей стоят 1 р. 45 к.

Что стоит грифель и что стоит карандаш?

Решение в форме наглядно-риторической: так как во втором случае приходится платить больше и притом на 1 р. 45 к. - 1 р. 20 к. = 25 к., то это потому, что было 25 - 20 = 5 лишних карандашей. Значит 5 карандашей стоят 25 к., а один 25 : 5 = 5 к.

От этой формы легко перейти к форме

10 гр. + 20 кр. = 120

10 p. + 25 кр. = .145 и путем вычитания получить 5 кр. = 25 коп.

и, наконец, в форме чисто символической: 10х + 20у = 120 10х + 25у - 145 5у = 25 у = 5

Следующим типом являются задачи, определяемые уравнениями: kax + Ь,у = с ах + b2y = d

25 мер овса и 20 пудов сена стоят 16 р. 50 к. 5 мер овса и 12 пудов сена стоят 4 р. 90 к.

Устанавливается, что 25 мер овса и 60 пудов сена стоят 24 р. 50 к., а разность, т.е. 40 пудов сена, стоят 8 руб., поэтому 1 пуд. - 20 к. От наглядно-риторического решения переходим к символическому решению уравнений:

25х + 20у = 1650 5х + 12у = 490 обычными приемами.

Наконец приходим к типу, отвечающему общему случаю; а,х + Ь,у = с, а,х + Цу =с.

За 7 груш п 11 яблок уплачено 29 к. За 9 груш и 12 яблок уплачено 33 к. Сколько стоит груша и яблоко?

Следует отметить еще одно затруднение при прохождений буквенной алгебры.

Под а, Ь, с . . . разумеются числа"2.

Но какие числа? В иных случаях самый ход действий предполагает, что а, Ь, с... обязательно целые числа, когда, например, находим общий наибольший делитель 50, а3, Ь1, с1, и 75, а1, Ь3, с2, объявляя его равным 25а2Ь3с2. В других же случаях, например, при определении числовых значений формулы, а, Ь, с имеют и дробные рациональные значения. В дальнейшем а, Ь, с - уже какие угодно числа, как рациональные, так и иррациональные.

§2. Величины различных измерений старой алгебры.

Методические изыскания должны идти параллельно историческим .В иных случаях, хотя далеко не всегда, история может кое-чему научить методиста. Я подчеркиваю: не всегда, так кис великий биогенетический закон, приравнивающий филогенетическое113 развитие онтогенетическому114, - это только грубое приближение.

Бесспорно, что кое-что в алгебре давалось трудно алгебраистам XVI века по тем же причинам, почему и учеником • оно трудно усваивается.

Так, повторяю, идея числовой алгебры проще, а потому и хронологически алгебра числовая предшествовала буквенной.

Но прибавлю, что много затруднений возникло и от основного взгляда на алгебру, на понимание смысла ее символов, причем через это понимание теперь, при арифметизироваииой с самых азов алгебре, ученик не должен проходить.

Когда предлагается буквенное уравнение ах2 -I- Ьх = с,

что означают буквы а, Ь, с и х (то, что в старой алгебре называлось характеристиками)? У нас такой ответ: а, Ь, с... известные числа, х - неизвестное число. Но если мы возвратимся к XVII и XVIII вв., то увидим другое положение.

Алгебраическая величина - это класс, объемлющий два вида непрерывных величин, каковыми являются геометрические величины: длины, поверхности, объемы и дискретные, т.е. числа, причем понятие числа ие вдет дальше рациональной области115, a b понимается или как результат ум моження числа а на число Ь, или как результат умножения отрезка а на отрезок Ь, причем это последнее подвергается также эволюции: в первоначальном понимании это площадь прямоугольник!, настроенного на а и b (между а и Ь, как говорит Евклид)116.

Но над этими понятиями стоит объемлющее их понятие умноження (multiplicatio), понимаемое как получение количества, которое к умножаемому имеет то же отношение, какое множитель к единице (Рснальди- ни"7 говорит - "к posilum", т.е. положенному, избегая говорить "к единице", относя последнюю только к числам).

Виэта"8 говорит: числовая логистика (по нашему алгебра) это та, которая оперирует с числами, специфически же оперирует видами (especes) или формами, гак буквами алфавита.

Виэта различает величніш различных порядков:

линейные

площади - planum

телесные - solidum.

Что они теряют свой первоначальный геометрический смысл, это следует из того, что Внэтой признается и solidum-planum и planum- planum1" ит. д.

Но, во всяком случае, это разнородные величины, которые нельзя складывать и вычитать120.

Но возможно умножение и деление, а так же понятие равенства отношений, или пропорции; отношения, как к однородным, так и к неоднородным величинам.

Можно писать пропорции х plan : A plan = В sol: 1 solid, дающую, согласно определению умноження: х = A plan ? В sol,

Умножение алгебраическое ни в коем случае ие сводится к сложению. Эта мысль выявляется и в принятой Виэтой символике: 18Q это 18 раз взятый квадрат: Q + Q + Q + ... всего 18 раз. Произведение же А на В пишется так A in В.

Насколько серьезное затруднение рождает этот взгляд, можно видеть из следующего характерного примера. Виэта выдвигает операцию: "protonescialion"121, ведущую к превращению первого члена в последний и обратно.

С нашей точки зрения это весьма элементарная операция: преобразование уравнения:

х5 - Ьх = а (1)

подстановкой

а

х=_ (2)

У

Подстановка эта дает сперва

а3 Ьа — = а,

У У

а по сокращении на а и умножении на у3 а2 - by2 = у3.

или у3 + by2 = а2

Но Виэта так не может поступать, Во-первых, при его понимании характеристик уравнение (1) просто не имеет смысла: из объема вычитается площадь и в результате получается длина.

Следует заметить, что неизвестные у Виэты означаются не последними буквами алфавита, а гласными.

Уравнение (1) представляется122 в следующей синкопированной

форме;

Acubus 1 1 ч

> aequal . Z solido - В piano in A J

Если положим А123 равным , то куб А будет

Ері

Zsolido . solido. solido E piano. piano. piano

Z solido _ .

умножается на В в алгебраическом смысле.

Е piano

Согласно терминологии Виэты - ducetur in В planum; в результате уравнение обращается в следующее:

Zsol.sol.sol „ .inZsol „ ...

--Bpl aeq . Z solido

Ері. pi. pi. pi Epl

Дальше идет умножение на Е pi . pi . pi, Antithesis (или перенос второго числа в первую с измененным знаком) и перестановка частей уравнения.

Е pi. cubus + В piano in Е piano quedrato aequatur Z solidi quadrato

или

E cub + В plan aeq Z solidi quadrato

Понимая же E как величину иного измерения, чем А, получается довольно серьезное затруднение. Обычно во второй части ставится Z solid, неизвестные всегда линеГ/ные величины, а преобразование приводит курав- неншо, в котором корень понимается уже в новом смысле.

<< | >>
Источник: Д.Д.Мордухан-Болтовской. Философия. Психология. Математика. М.: Серебряные нити.-560 с.. 1998

Еще по теме § 1. Числовая и буквенная алгебра с методической точки зрения.:

  1. § 9. Синкопированном буквенная алгебра.
  2. Ш. Первые шаги буквенной алгебры. (Конец XVI века).
  3. СОЦИОЛОГИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
  4. ПСИХИКА С ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
  5. АНТРОПОЛОГИЯ С ПРАГМАТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ 1798
  6. ДВЕ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ НА ПСИХИЧЕСКОЕ
  7. 4.7 Оптимизация числовых значений параметров формализации ЕПК модема и формирование вербально - числовой шкалы качества
  8. ВСЕЛЕННАЯ С ПЛЮРАЛИСТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
  9. Антропология с прагматической точки зрения
  10. Старчество (с педагогической точки зрения)
  11. АВТОБИОГРАФИЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПСИХОСИНТЕЗА
  12. Старчество (с педагогической точки зрения)
  13. Человек с точки зрения законов эволюции
  14. Психопатология с точки зрения классификационных систем