<<
>>

IV 1942-1943 1.

Ясно, конечно, что математик, поскольку он действительно «играет в игру», не делает выводов. Ибо «играть» должно означать здесь: действовать в соответствии с определенными правилами. И даже если бы он сделал вывод, что, согласно общему правилу, он может действовать здесь таким образом, это уже былобы выхо- домза пределы простой игры. 2.

Вычисляет ли счетная машина?

Представь себе, что вычислительная машина появилась случайно; и вот кто-то случайно нажимает на ее кнопки (или же какое-то животное пробегает по ним), и она вычисляет результат 25 х 20. — Я хочу сказать: для математики существенно, чтобы ее знаки применялись и в гражданской жизни.

Именно употребление вне области математики, то есть значение знаков [их отнесенность к объектам], делает знаковую игру математикой.

Ведь мы же не будем считать логическим выводом преобразование одной структуры (скажем, расположения стульев) в другую, если такие упорядочения не имеют языкового употребления вне этой трансформации. 3.

А разве не мог бы кто-то, не имеющий никакого понятия о значении РАССЕЛОВСКИХ знаков, повторно просчитать за РАССЕЛОМ его доказательства? То есть в каком-то существенном смысле проверить, истинны они или ложны?

Можно было бы так отладить человеческую вычислительную машину, показав ей правила вывода и продемонстрировав их действие на примерах, чтобы она считывала доказательства математической системы (например, РАССЕЛОВСКИЄ) И после каждого правильно сделанного вывода кивала головой, а в случае ошибки качала головой и прекращала вычисления. Во всем же остальном

это существо можно было бы себе представить полным идиотом. Доказательством мы называем то, что может быть повторно просчитано, равно как и скопировано. 4.

Если математика — это игра, то играть в такую игру — значит заниматься математикой, а почему бы тогда не быть математикой и танцу?

Представь себе, что вычислительные машины встречаются в природе, но их корпуса непроницаемы для людей. И тогда люди использовали бы эти устройства примерно так же, как мы — вычисление, хотя о таковом они совершенно ничего не знают. Так, с помощью вычислительных машин они бы к лали предсказания, но их обращение с этими странными предметами носило бы характер экспериментирования.

У этих людей отсутствовали бы понятия, имеющиеся у нас; но что бы их заменяло? —

Вспомни механизм, движение которого мы рассматривали как геометрическое (кинематическое) доказательство: очевидно, что в нормальной ситуации никто не скажет о человеке, вращающем колесо, что он что-то доказывает. Разве не так же обстоит дело с тем, кто ради игры выстраивает знаки в ряд и изменяет эти ряды; даже если то, что он получает, и можно рассматривать как доказательство?

Утверждение, что математика — игра, должно означать: в ходе доказательства никогда не следует апеллировать к значению знаков, то есть к их внематематическому применению. Но что значит вообще: апеллировать к нему? Как возможно, чтобы такая апелляция была плодотворной?

Означает ли это — выйти за пределы математики и вновь вернуться к ней или же это означает — перейти от одного способа математического вывода к другому?

Что значит — приобрести новое понятие о поверхности шара? В какой степени это будет тогда понятием о поверхности шара? Лишь в той степени, в какой это понятие применимо к реальным шарам.

Насколько необходимо иметь понятие о «предложении», чтобы представлять себе РлссЕловскую математическую логику? 5.

Если предполагаемое применение математики существенно, то как тогда обстоит дело с теми разделами математики, применение которых — или же то, что математики считают применением, — совершенно ирреально? В таких случаях — мы это видим в теории множеств — занимаются какой-либо областью математики, имея совершенно ложное понятие о ее применении. Но разве тем не менее при этом занимаются не математикой? Если бы арифметические операции служили исключительно для конструирования шифра, то их применение было бы, конечно, принципиально отлично от нашего. Но можно ли было бы тогда вообще назвать эти операции математическими? Можно ли сказать о том, кто применяет правило дешифровки, что он совершает математические операции? И все же его преобразования можно толковать и так. Ибо он ведь мог бы сказать, что рассчитывает результат, получаемый при дешифровке знака... в соответствии с тем или иным ключом. А предложение: знаки... дешифрованные в соответствии с этим правилом, дают... — является математическим. Так же как и предложение о том, что в шахматах от этой позиции можно прийти к той. Представь себе, что геометрией четырехмерного пространства занимаются с целью познакомиться с условиями жизни духов. Разве из-за этого она перестает быть математикой? И можно ли тогда утверждать, что она определяет понятия?

Разве не странно звучало бы утверждение, что какой-то ребенок уже способен выполнять тысячи операций умножения, — а это должно подразумевать, что ему уже доступны вычисления в неограниченной числовой области. Хотя это можно было бы считать еще весьма скромным способом выражения, так как вместо «бесконечно много» говорилось бы только о «многих тысячах». Можно ли представитьсебе людей, которые в обычной жизни производили бы вычисления лишь в пределах 1000, а все, что сверх того, сохраняли для математических исследований мира духов? «Верно это или нет для реальной поверхности шара — для математической поверхности шара это верно» — тем самым создается впечатление, будто особое отличие математического предложения от эмпирического состоит в том, что истина этого последнего приблизительна и шатка, математическое же предложение описывает свой объект точно и, безусловно, истинно. Как если бы «математический шар» как раз и был шаром. И тогда можно было бы, скажем, спросить себя, существует ли только один такой шар или же несколько (ФРЕГЕвская постановка вопроса). Причиняет ли вред вычислению как разделу математики неправильное понимание возможностей его применения?

А помимо неверного понимания, как обстоит дело просто с неясностью?

Допустим, некто полагает, что математики открыли странный предмет V-1, который, будучи возведен в квадрат, дает -1. Разве он не мог бы достаточно четко производить вычисления с комплексными числами и применять такие вычисления в физике? И становятся ли они из-за этого в меньшей степени вычислениями? В одном отношении его понимание, конечно, хромает; но он, несомненно, сделает свои выводы с полной уверенностью, и его исчисление будет прочно стоять на ногах.

Ну, а разве не смешно было бы утверждать, что этот человек занимается не математикой?

Когда кто-то расширяет границы математики, предлагает новые

определения и находит новые теоремы, то в известном

смысле можно сказать, что он не ведает, что творит. — У него есть смутное представление о том, что он что-то открыл, как бы некое пространство (при этом он думает о некоем помещении), освоил какую-то новую область, а если его спросить об этом, он наговорит много ерунды.

Представим себе простейший случай, что кто-то выполнил невиданные умножения, чтобы, как он говорит, завоевать тем самым новые огромные области мира чисел.

Представь себе, будто система вычислений с V-1 изобретена чудаком, которого привлекла просто парадоксальность идеи и он занимается вычислением как своего рода богослужением или храмовой службой абсурда. Он воображает, что фиксирует невозможное и оперирует им.

Иными словами: тот, кто верит в математические объекты и их странные свойства, — разве не может он все-таки заниматься математикой? Или же: разве он не занимается и математикой? «Идеальный объект». Высказывание «Знак а обозначает идеальный объект» должно, очевидно, говорить что-то о значении, то есть об употреблении а. А это, конечно, означает, что такое употребление в известном отношении сходно с употреблением знака, имеющего свой предмет, но что оно не соответствует никакому предмету. Однако интересно, что извлекается из этого факта для выражения «идеальный объект».

6. При известных условиях можно говорить о бесконечном ряде шаров. — Представим себе такой прямой бесконечный ряд шаров с равными промежутками и рассчитаем силу, с которой все эти шары по закону притяжения действуют на определенное тело. Число, получаемое вычислением, мы будем рассматривать как идеал точности для известных измерений.

Ощущение странности проистекает здесь от неправильного понимания. От того типа неверного понимания, который порожден ловушками рассудка — икоторому я хочу положить конец. Возражение, что «конечное не может постичь бесконечное», по сути, направлено против идеи психологического акта постижения или понимания.

Или представь себе, что мы просто говорим: «Эта сила соответствует притяжению бесконечного ряда шаров, размещенных определенным образом и действующих на тело согласно этому закону притяжения». Или же: «Рассчитай силу, с которой бесконечный ряд шаров с определенными свойствами действует как некое тело!» — Этот приказ все же имеет определенный смысл. В нем описано особого рода вычисление.

А как быть с такой задачей: «Рассчитай вес колонны, состоящей из стольких положенных одна на другую плит, сколько имеется кардинальных чисел; самая нижняя плита весит 1 кг, каждая последующая — половину предыдущей»?

Трудность заключена не в нашей неспособности составить некое представление. Довольно легко представить себе, например, бесконечный ряд. Вопрос в том, что дает нам это представление. Представь себе, что бесконечные числа использованы в сказке. Гномы сложили башню из стольких кусков золота, сколько существует кардинальных чисел, — и т. д. То, что может произойти в этой сказке, должно же иметь смысл. —

7. Представь себе, что теория множеств изобретена неким сатириком как своеобразная пародия на математику. — Затем в ней углядели бы разумный смысл и включили ее в математику. (Ведь, если кто-то один может считать ее раем для математиков, почему бы кому-то другому не признать ее шуткой?) Вопрос в следующем: разве не очевидно, что она и в качестве шугки является математикой? —

А почему очевидно, что она является математикой? — Не потому ли, что это знаковая игра по правилам?

Но разве возможно иметь некое понятие и не обладать ясным представлением о его применении? 8.

Возьми построение многоугольника сил: разве это не элемент прикладной математики? А где же предложение чистой математики, которое привлекают на помощь при этом графическом расчете? Разве это не такой же случай, как с тем племенем, которое для известных предсказаний использует вычислительную технику, но не предложения чистой математики?

Вычисление, которое служит для проведения некой церемонии. Например, в соответствии с определенной техникой из возраста отца и матери и числа их детей выводится число слов для некой формы благословения их семейного очага. Описание процедуры вычисления можно было бы представить себе в виде некоего подобия Моисеева закона. И разве нельзя было бы представить себе, что народ, обладающий этими церемониальными вычислительными предписаниями, в практической жизни никогда не вычисляет? Это было бы все-таки прикладным вычислением, но оно не служило бы целям предсказания. 4 А что удивительного было бы в том, если бы технические приемы вычислений имели некое семейство применений? 9.

Сколь странен вопрос: появится ли при бесконечном десятичном разложении числа я сочетание ср (некая особая последовательность цифр, скажем „770")? — Понятно лишь при попытке рассуждать совершенно заземленно: люди приучены при вычислении располагать знаки по известным правилам. И тут они действуют в согласии с тем, к чему приучены, а мы говорим, что проблематично, запишут ли они когда-нибудь, следуя заданному правилу, сочетание ср.

А о чем говорят, утверждая, что здесь ясно одно: в ходе бесконечного разложения мы либо придем, либо не придем к ф? Мне кажется, что тот, кто это говорит, сам уже устанавливает некое правило или же постулат.

Что, если бы на какой-то вопрос отвечали: «На этот вопрос пока еще нет ответа»?

Так мог бы ответить, скажем, писатель, если бы спросили, есть ли у героя его романа сестра или нет, а он бы еще не решил этот вопрос сам для себя.

Вопрос — хочу я сказать — изменяет свой статус, если становится решаемым. Ибо тогда устанавливается взаимосвязь, которой прежде не было.

О человеке, обученном чему-то, можно спросить: «Как он будет толковать правило применительно к этому случаю?» — или же: «Как должен он толковать правило применительно к этому случаю?» А что, если на этот счет не принято никакого решения? — Что ж, тогда ответом не служило бы: «Толкование должно быть таким, чтобы при разложении появилось ср» или: «Толкование должно быть таково, чтобы ср не появилось», но ответом было бы: «С этим еще не решено».

Как странно звучит утверждение, что дальнейшее разложение некоего иррационального числа есть дальнейшее развитие математики. Математика осуществляется в понятиях. --Ив определенных понятиях в большей мере, чем в других.

Я хочу сказать: кажется, будто основа для решения уже имеется; между тем ее еще надо изобрести.

Не сводится ли дело к следующему: обращаясь мыслью к усвоенной нами технике разложения, мы используем ложный образ завершенного разложения (того, что обычно называют «рядом»), и это вынуждает нас ставить не имеющие ответа вопросы? Ведь любой вопрос о разложении V2 должен быть сводим в конечном счете к практическому вопросу, касающемуся техники разложения. И здесь речь идет, конечно, не только о случае разложения какого-то действительного числа или же вообще о получении математических знаков, но о любом аналогичном процессе, будь то игра, танец и т. д. и т. д. 10.

Если кто-то вдалбливает нам в голову закон исключенного третьего, толкуя о его непреложности, — то ясно, что с предметом его обсуждения что-то не в порядке.

Если кто-то выдвигает закон исключенного третьего, то он как бы предлагает нам на выбор две картины, говоря, что одна из них должна соответствовать факту. А что, если сомнительна сама применимость здесь этих картин?

Заявляя, что бесконечное разложение я должно либо содержать, либо не содержать сочетание ср, нам предлагают как бы картину уходящего вдаль необозримого ряда.

А что, если изображение на большом удалении начинает терять четкость контуров? 11.

Говорить о бесконечном ряде, что он не содержит определенного сочетания, имеет смысл только в совершенно особых условиях. Это значит: такое предложение обретает смысл лишь в известных случаях.

Например, в таких, когда присутствие сочетания ... исключено законом данного ряда.

Далее: продолжая вычислять десятичное разложение, я вывожу новые законы, которым подчиняется данный ряд. «Что ж, хорошо, в таком случае можно сказать: в законе данного ряда либо должно быть заложено появление этого сочетания, либо его исключение». Но так ли это? — «А разве закон разложения не полностью детерминирует ряд? А если он его детерминирует, не допуская неопределенности, он должен имплицитно решать все вопросы, касающиеся структуры ряда.» — Тогда ты здесь имеешь в виду конечные ряды.

«Но ведь определены все члены ряда от 1 до 1000, до 1010 и т. д., а это значит, что все члены определены». Это верно, если исключено, что какой-то из последующих членов может оказаться не определенным. Но ты же видишь, что это не позволяет тебе сделать вывод о том, появится ли в ряду некое сочетание (если оно еще не появилось). Таким образом, мы понимаем, что используем дезориентирующую нас картину.

Желая узнать о ряде больше, ты должен как бы переместиться в другое измерение (как бы с линии на окружающую ее плоскость). — Так разве плоскость уже не присутствует здесь, так же как и линия, и не требуется просто кое-что исследовать, если хочешь знать, как это происходит?

Нет, математику этого более широкого диапазона надо еще изобрести, как и любую математику.

В некой арифметике, где счет не идет дальше 5, вопрос о том, сколько будет 4 + 3, еще не имеет смысла. Однако здесь вполне может существовать проблема придания смысла этому вопросу. Это значит: этот вопрос имеет так же мало смысла, как и положение об исключенном третьем применительно к этому вопросу. 12. Предполагается, будто в законе исключенного третьего уже присутствует нечто достаточно прочное, во всяком случае, не подлежащее сомнению. Между тем в действительности эта тавтология имеет столь же шаткий смысл (если позволительно так сказать), что и вопрос о том, имеет ли место р или

Представь себе, что я бы спросил: что имеют в виду, когда говорят: «При этом разложении... появляется сочетание...»? Мне бы ответили: «Ты же знаешь, что это означает. Оно появляется подобно тому, как при десятичном разложении действительно появляется сочетание...» — Значит, оно появляется вот так? Но как именно?

Представь себе, что тебе бы ответили: «Оно появляется либо так, либо не так!»

«Но разве ты действительно не понимаешь, что имеется в виду?!» — А разве невозможно думать, будто понимаешь, а между тем заблуждаться? —

Откуда я знаю тогда, что означает: сочетание... появляется при разложении? Конечно же благодаря примерам, показывающим мне, что получается, когда... Но эти примеры не показывают, как получается, что при разложении появляется данное сочетание. Разве нельзя сказать: если бы действительно было правомерно утверждать, что эти примеры учат меня, как происходит, что в десятичном разложении появляется данное сочетание, то они должны были бы показывать мне и то4 что означает противоположное утверждение? 13.

Общее предложение о том, что данное сочетание не появляется при разложении, может быть только требованием.

А что, если рассматривать математические предложения как требования и как таковые их высказывать? «Пусть 252 даст 625». Да, требование тоже имеет внутренее и внешнее отрицание. Символы (х) • фх и (Зх) • срх, вероятно, полезны в математике, если известна и остальная техника доказательства существования или не существования, которую здесь тянут за собой РАССЕЛОВСКИЄ знаки. Если же оставить вопрос открытым, то эти понятия старой логики оказываются в высшей степени дезориентирующими. Допустим, некто заявляет: «Да ведь ты знаешь, что „данное сочетание появляется при разложении" означает именно это», — и показывает какой-то случай его применения. — Я могу возразить на это лишь репликой, что показанное им способно иллюстрировать различные факты. Вот почему, зная, что он наверняка прибегнет в таком случае к данному предложению, обо мне — на этом основании — нельзя сказать, что я знаю, что означает это предложение.

Противоположностью утверждению «существует закон, что р» не является утверждение «существует закон, что ~р». Выражая первое через Р, а второе через ~Р, оказываешься в трудном положении. 14.

Предположим, детей учили бы, что Земля представляет собой бесконечную плоскость; или же что Бог создал бесконечный ряд звезд; или что звезда равномерно и беспрерывно летит по прямой линии все дальше и дальше.

Странно вот что: если воспринимать нечто подобное как само собой разумеющееся, совершенно спокойно, то оно утрачивает всякую парадоксальность. Как если бы кто-то сказал мне: успокойся, этот ряд или движение продолжается беспрерывно. Нас как бы избавили от усилия думать о конце.

«Мы не будем принимать во внимание конец». (We won't bother about an end.)

Можно было бы также сказать: «Для нас ряд бесконечен». «Мы не станем беспокоиться о конце этого ряда; для нас он всегда будет необозримым». 15.

Невозможно сосчитать рациональные числа, потому что они не поддаются счету, но можно считать с помощью рациональных чисел — так же как и с помощью кардинальных чисел. Такой лукавый способ выражения входит в целую систему уловок, прибегая к коим мы с помощью нового аппарата столь же уверенно действуем с бесконечными множествами, сколь до сих пор оперировали конечными.

Нельзя назвать это «исчисляемостью», но вполне имеет смысл говорить о «нумеруемости». А это выражение позволяет уяснить и применение понятия. В самом деле, хотя тщетны попытки сосчитать рациональные числа, но стремиться их пронумеровать вполне возможно. 16.

Здесь напрашивается сравнение с алхимией. Можно говорить о своего рода алхимии в математике.

Характеризует ли эту математическую алхимию уже то, что математические предложения рассматриваются как высказывания о математических объектах — то есть что математика выступает как исследование этих объектов?

В известном смысле в математике нельзя апеллировать к значению знаков потому, что именно математика и задает им значение. Что типично для явления, о котором идет речь, так это то, что загадочность какого-нибудь математического понятия не истолковывается сразу же как некое ошибочное понимание, как ложное понятие; она толкуется как что-то такое, чем, во всяком случае, не следует пренебрегать, с чем, пожалуй, скорее даже следует считаться.

Все, что я могу сделать, — это указать легкий выход из этой неясности и мерцания понятий.

Странным образом можно утверждать, что во всех этих мерцаю- щих понятийных образованиях есть, так сказать, прочное ядро. И я бы сказал, что оно-то и делает их математическими творениями. Можно сказать: то, что ты видишь, больше похоже, конечно, на какое-то мерцающее воздушное сияние, но посмотри на него с другой стороны, и ты увидишь плотное тело, которое только под определенным углом зрения выглядит как мерцание без телесного субстрата.

17. «Определенная конфигурация входит в ряд или же отсутствует в ряду» — это означает: дело выглядит так или же оно не выглядит так.

Откуда мы знаем, что значит противоположность предложения «ср появляется в ряду» или же предложения «ф не появляется в ряду»? Этот вопрос звучит бессмысленно, и все же он имеет какой-то смысл. Притом вот какой: откуда я знаю, что понимаю предложение «ср появляется в ряду»?

Верно, можно привести примеры употребления таких высказываний и противоположных. А они служат примерами того, что существует некое правило, предписывающее появление чего-то в оп? ределенном месте или ряде мест или же определяющее, что это появление исключено.

Если слова «ты сделаешь это» означают: ты должен это сделать, а «ты не сделаешь этого» — ты не имеешь права делать это, —то фраза «ты сделаешь это или ты этого не сделаешь» не будет предложением об исключенном третьем.

Каждый чувствует себя неуютно при мысли, что некое предложение могло бы повествовать о том, что в бесконечном ряду что-то не появляется, — и напротив, отнюдь не кажется странным, если некое повеление гласит: в этом ряду, как бы долго его ни продолжать, это появиться не должно.

Откуда же берется это различие между «как бы далеко ты ни шел, ты этого никогда не найдешь» — и «как бы далеко ты ни шел, ты никогда не должен этого делать»?

Услышав приведенное предложение, можно спросить: «Как можцо знать что-то в этом роде?» — по отношению же к приказу такое неуместно.

Высказывание кажется самодостаточным, приказ же — отнюдь нет. Можно ли представить себе, чтобы все математические предложения выражались в повелительном наклонении? Например: «Пусть 10 х 10 будет 100!»

А тогда фраза: «Пусть будет так или же пусть так не будет» — выражала бы не закон исключенного третьего, а правило. (Как я уже говорил об этом выше.) 18.

Но действительно ли это выход из трудностей? Ибо как тогда обстояло бы дело со всеми другими математическими предложениями, скажем 252 = 625; разве для них в пределах математики не имел бы силы закон исключенного третьего?

Как используют положение об исключенном третьем? «Существует либо правило, запрещающее это, либо правило, разрешающее это».

Предположим, что нет правила, запрещающего определенное событие, — почему же тогда должно быть правило, разрешающее его? Имеет ли смысл говорить: «Хотя и не существует правила, запрещающего данное сочетание, оно действительно не появляется»? — А если это не имеет смысла, то как может иметь смысл нечто противоположное этому — то, что такое сочетание появляется? Ну, когда я говорю, что оно появляется, передо мной витает картина ряда, от его начала до этой конфигурации, — если же я говорю, что такое сочетание не появляется, то подобная картина мне не нужна, и мой запас картин иссякает.

А что, если бы правило при употреблении незаметно отклонялось в сторону? Я имею в виду, что можно было бы говорить о его применении в различных пространствах.

Противоположностью высказыванию «это не должно появиться» называют «это может появиться». Но для какого-то конечного фрагмента ряда противоположностью «это не должно в нем появляться», по-видимому, будет «это должно в нем появиться». В альтернативе «в бесконечном ряду ср появляется или не появляется» странно то, что нужно представить себе по отдельности обе эти возможности, что ищется представление для каждого варианта и что одного представления обычно оказывается недостаточно для отрицательного и положительного случаев. 19.

Откуда я знаю, что общее предложение «Существует...» имеет здесь смысл? Да из того, что оно может быть использовано для сообщения о технике развертывания в той или иной языковой игре. Одно сообщение гласит: «Это не должно появляться», — то есть: если оно появляется, значит, ты неверно вычислил.

Другое же оповещает: «Это может появиться», то есть такого рода запрета не существует. Еще одно: «Это должно появиться в такой-

7 — 1923

то области (всегда в этом месте в этих областях)». Противоположностью же этому, по-видимому, будет: «В таком-то месте это не должно появляться» — вместо «Это не должно там появляться». А что, если существовало бы правило, разрешающее, например, везде, где правило образования я дает 4, ставить вместо 4 любую другую условную цифру?

Прими во внимание также правило, в определенных местах запрещающее некую цифру, а в других оставляющее возможность выбора.

Разве не верно, что понятие о бесконечных десятичных дробях в математических предложениях — это понятие не о рядах, а о неограниченной технике разложения рядов?

Мы осваиваем бесконечную технику: то есть сначала нам что-то проделывают, мы это повторяем; нам формулируют правила, и мы упражняемся в следовании им; при этом, вероятно, употребляют и такое выражение, как «и т. д. до бесконечности», но под этим не подразумевают какого-то гигантского протяжения. Таковы факты. Ну, а что означает: «ср или появляется в данном разложении, или же не появляется»? 20.

Значит ли это, что нет такой проблемы: «Проявляется ли в этом разложении конфигурация ср?» — Спрашивать об этом — значит спрашивать о правиле появления ср. А альтернатива существованию или несуществованию такого правила — это, во всяком случае, не математическая альтернатива.

Только в пределах некоей математической структуры, которую еще надлежит создать, вопрос допускает математическое решение и становится вместе с тем требованием такого решения. 21.

Что же, выходит, бесконечное не действительно — разве нельзя сказать: «Эти два края плоскости пересекаются в бесконечности»? Неверно: «Круг имеет это свойство потому, что проходит через две бесконечно удаленные точки...», верно другое: «Свойства круга могут быть рассмотрены в этой (странной) перспективе».

Это, по сути, некая перспектива, причем притянутая за волосы. (Что вовсе не ставится кому-то в упрек.) Но всегда должно быть совершенно ясно, в какой мере этот способ восприятия притянут за волосы. Ибо иначе его действительное значение оказывается смутным. 22.

Что значит: «Математик не знает, что делает» — или: «Он знает, что делает»? 23. Можно ли делать бесконечные предсказания? — Ну, а почему бы, например, закон инерции не назвать таким предсказанием? Или же предложение о том, что комета описывает параболу?

В известном смысле их бесконечность, правда, не принимается всерьез.

Как же тогда обстоит дело с предсказанием о том, что при разложении я, как бы далеко оно ни зашло, мы никогда не наткнемся на конфигурацию ср? — Что ж, можно сказать, что это или нематематическое предсказание, или же математическое правило. Кто-то, научившись разлагать V2, идет к гадалке, и она пророчит ему, что, как бы далеко он ни продвинулся в разложении у2, он никогда не придет к последовательности .... — Является ли ее пророчество математическим предложением? Нет. — Разве что она скажет: «Если ты всегда будешь разлагать правильно, то никогда не придешь....» Но разве это предсказание? И все же кажется, что такого рода предсказание правильного разложения вполне мыслимо и отличимо от математического закона, утверждающего, что таковое должно вести себя тем или иным образом. Так что в математическом разложении различалось бы то, что фактически получается так — как бы случайно, — и то, что должно так получиться.

Как следует решать вопрос о том, имеет ли смысл бесконечное предсказание?

Во всяком случае, не утверждением: «Я уверен, что имею в виду нечто, когда говорю...»

Пожалуй, вопрос не столько в том, имеет ли предсказание какой- либо смысл, сколько в том, какого типа смысл оно имеет. (То есть в каких языковых играх оно появляется.) 24.

«Пагубное проникновение» логики в математику.

В подготовленной таким образом области это является доказательством существования.

Порочность логической техники состоит в том, что она заставляет нас забытьспециальную математическую технику. В то время как логическая техника — лишь вспомогательная техника в математике. Например, она устанавливает известные связи между другими техниками.

Это почти то же самое, как если бы кто-то захотел сказать, что столярное дело состоит в склеивании.

7*

153 25. Доказательство убеждает тебя в том, что существует некий корень уравнения (не давая тебе понятия о том, где он существует), — но откуда ты знаешь, что понимаешь предложение о существовании корня? Откуда ты знаешь, что действительно в чем- то убежден? Ты можешь быть убежден в том, что применение доказанного предложения будет найдено. Но тебе не понять этого предложения, пока ему не найдено применение. Если доказательство в общем виде доказывает, что существует некий корень, то все зависит от того, в какой форме оно это доказывает. То есть ОТ TOFO, что ведет здесь к данному словесному выражению, которое есть просто схема, замалчивающая главное. В то время как логикам кажется, что оно замалчивает только побочное.

Математически общее соотносится с математически особенным не так, как обычно соотносится обще'е с особенным. Все, что я говорю, сводится, собственно, к тому, что можно знать некое доказательство и следовать ему шаг за шагом, но при этом все-таки не понимать того, что было доказано. А это в свою очередь связано с тем, что можно грамматически правильно построить математическое предложение, не понимая его смысла.

А когда его понимают? — Я полагаю: тогда, когда его могут применять.

Вероятно, можно сказать: когда имеют некую ясную картину его применения. Для этого, однако, недостаточно связывать с ним какую-то ясную картину. Куда лучше' было бы сказать: когда имеют ясный обзор его применения. Но и это плохо, ибо речь идет лишь о том, чтобы не предполагать применения там, где его нет; чтобы не позволять словесной форме предложения вводить себя в заблуждение.

Но как же получается, что таким образом предложение или доказательство может быть не понято или неправильно понято? И что тогда нужно, чтобы добиться понимания?

Существуют, полагаю, случаи, когда кто-то как раз может применить предложение (или доказательство), однако не в состоянии дать ясный отчет о типе применения. И такой случай, когда он не в состоянии и применить предложение. (Аксиома умножения.) Как обстоит дело в этом отношении с 0 х 0 = О? Можно сказать, что понимание математического предложения не гарантировано его словесной формой, как в случае большинства

не математических предложений. Это означает, по-видимому, что дословный текст не определяет языковую игру, в которой функционирует предложение. Логическая запись проглатывает структуру. 26.

Чтобы понять, как можно назвать «доказательством существования» что-то не допускающее конструирования существующего, подумай о разнообразных значениях слова «где». (Например, топологическом и метрологическом.)

Ведь доказательство существования может не только оставлять неопределенным место «существующего», но и вообще не задаваться вопросом о таком месте.

Это значит, что если доказанноепредложение гласит: «Существует число, для которого...», — то вряд ли имеет смысл спрашивать: «И каково это число?» — или говорить: «И это число есті...» 27.

Доказательство того, что при разложении л, появляется 777, без указания, где именно, должно было бы рассматривать это разложение* с совершенно новой точки зрения, так чтобы, например, показывать свойства областей разложения, о которых мы знали бы лишь то, что они расположены очень далеко вовне. При этом перед нашим мысленным взором витала бы картина того, что в запредельной дали в л должна предполагаться как бы некая темная зона неопределенной протяженности, где наши вспомогательные вычислительные средства уже ненадежны, а затем — в еще большем удалении — некая зона, где снова можно что-то видеть иным образом. 28.

Что касается доказательства путем reductio ad absurdum, то всегда можно представить себе, что его употребляет в качестве аргумента человек, выдвигающий не математическое утверждение (например: он видел, что А поставил В мат такими-то фигурами), которое может быть опровергнуто математически.

Трудность, ощущаемая в математике в связи с reductio ad absurdum, такова: что происходит при этом способе доказательства? Что-то математически абсурдное, то есть нематематическое? И, напрашивается вопрос, как вообще возможно принимать нечто математически абсурдное? То, что можно принять и довести до абсурда физически ложное, не создает трудностей. Но как помыслить, так сказать, немыслимое?!

Косвенное доказательство гласит: «Если ты хочешь, чтобы это было так, то ты не должен принимать этого: ибо с этим сочетаемо лишь противоположное тому, от чего ты не хочешь отказаться». 29.

Геометрическая иллюстрация математического анализа на самом деле несущественна, чего нельзя сказать о геометрическом применении. Первоначально геометрические иллюстрации были применениями [математического] анализа. Там же, где они перестают быть таковыми, они легко могут совершенно сбивать с толку.

В таком случае мы имеем дело с воображаемым применением. Вымышленным применением.

Идея «сечения» является такой опасной иллюстрацией. Лишь поскольку иллюстрации служат применениями, они не порождают того особого головокружения, которое вызывает иллюстрация в тот момент, когда она утрачивает возможное применение; то есть когда она становится нелепой. 30.

Так можно было бы вывести теорему ДЕДЕКинда, если бы то, что мы называем иррациональными числами, было совершенно неизвестно, но существовала бы техника определения жребием очередного десятичного знака. И эта теорема имела бы тогда свое применение, даже если бы не существовало математики иррациональных чисел. Это не означает, что разложения ДЕДЕКивда как бы уже предвосхищают все особые действительные числа. Просто кажется, что это будет так, стоит лишь объединить исчисление ДЕДЕКивда с исчислениями конкретных действительных чисел. 31.

Можно спросить: чего не мог бы понять в доказательстве теоремы ДЕДЕКинда ребенок 10 лет? — Разве это доказательство не много проще, чем все те вычисления, которыми должен владеть ребенок? — И если кто-то скажет, что ребенок не может понять глубокого содержания теоремы, — я задам ему вопрос: как эта теорема обретает свое глубокое содержание? 32.

Образ числовой оси — это абсолютно естественный образ, но до определенного момента, то есть до тех пор, пока его не используют как некую общую теорию действительных чисел. 33.

Пожелав осуществить разбиение действительных чисел на два класса — нижний и верхний, — сделай это сначала огрубление, с помощью двух рациональных точек Р и Q. р Q Затем подели отрезок PQ на две равные части и реши, в какой половине (если не в точке разбиения) должно располагаться сечение; если, например, в левой, то подели ее пополам и прими более точное решение; и т. д.

Располагая принципом неограниченного повторения данной процедуры, ты можешь сказать, что этот принцип дает то или иное сечение, так как он решает для каждого числа, расположено ли оно снизу или сверху. — Здесь встает вопрос, можно ли с помощью такого принципа разбиения продвигаться неограниченно или же необходим еще какой-то другой способ решения; и еще, требуется ли таковой после того или до того, как с помощью этого принципа получено решение. Ну, во всяком случае, не до завершения данной процедуры, ибо пока еще стоит вопрос о том, на каком конечном отрезке прямой должна лежать искомая точка, вопрос может решаться дальнейшим разбиением. — Но разве после такого решения в согласии с принципом все еще остается пространство для какого-то дальнейшего решения? С теоремой ДЕДЕКивда дело обстоит так же, как и с законом исключенного третьего: кажется, будто он исключает нечто третье, в то время как о каком-то третьем в нем и речи нет. Доказательство теоремы ДЕДЕКивда оперирует некоей картиной, которая не может его оправдать, скорее сама эта картина должна быть оправдана данной теоремой.

Принцип разбиения легко принять за бесконечно продолжающееся разбиение, ибо он во всяком случае не соответствует никакому конечному разбиению и, казалось бы, позволяет продвигаться все дальше и дальше.

34. Разве нельзя было бы предпослать теории предела, функций, действительных чисел более экстенсиональное предварение, чем это делают? Даже если бы это подготовительное исчисление неизбежно оказывалось очень тривиальным и само по себе бесполезным?

Трудность то интенсионального, то снова экстенсионального способа рассмотрения * начинается уже с понятия «сечение». Совершенно ясно, что каждое рациональное число можно назвать своего рода принципом разбиения рациональных чисел. И вот обнаруживается что-то еще, что тоже можно назвать принципом разбиения, например то, что соответствует V2. Затем еще нечто подобное этому, — и наконец мы уже вполне осваиваемся с возможностью таких разбиений и осмысливаем их с помощью картины сечения, осуществленного в том или ином пункте прямой, то есть экстенсионально. Ибо, делая сечение, я ведь могу выбрать место для него по своему желанию.

Но если принципом разбиения служит сечение, то ведь оно является таковым вот почему: о любом условно взятом рациональном числе можно сказать, что оно расположено по одну или по другую сторону сечения. — Можно ли в таком случае сказать, что идея сечения привела нас от рациональных чисел к иррациональным? Разве мы пришли, например, к V2 с помощью понятия сечения? Что же такое сечение действительных чисел? Да это принцип разбиения на нижний и верхний классы. Следовательно, такой принцип порождает каждое рациональное и иррациональное число. Пусть даже отсутствует система иррациональных чисел, но и тогда все те, что имеются, подразделяются по отношению к сечению на нижние и верхние (поскольку они, так сказать, сравнимы с ним).

Ну, а ДЕДЕКиндова идея состоит в том, что разбиение на нижний и верхний классы (при известных условиях) есть действительное число.

Сечение — это экстенсиональное представление. Конечно, если у меня есть математический критерий, позволяющий определять для любого рационального числа, относится ли оно к нижнему или верхнему классу, то мне легко систематически приближаться сколь угодно близко к месту встречи обоих классов. По ДЕДЕКИНДУ, мы осуществляем сечение не рассечением, то есть не указанием определенного места, а тем, что, — как и при обнаружении V2. — приближаемся к обращенным друг к другу концам нижнего и верхнего классов.

Причем требуется доказать, что никакие другие числа, кроме действительных, не могут выполнить такого рода сечение. Не забудем, что первоначально разбиение рациональных чисел на два класса не имело смысла, пока мы не обратили внимание на нечто такое, что можно было описать подобным образом. Понятие это взято из повседневного употребления языка и потому вроде бы должно непосредственно иметь смысл и для чисел. Если теперь ввести идею сечения действительных чисел, заявив, что понятие сечения здесь просто распространяется с рациональных чисел на действительные и что все, что для этого нужно, — это некое свойство, разделяющее действительные числа на два класса (и т. д.), — то прежде всего не ясно, что подразумевается под такого рода свойством, которое разделяет подобным образом все действительные числа. Тут обращает на себя внимание то, что для этого может сгодиться любое действительное число. Но это нас продвинет лишь до сих пор, не далее. 35.

Экстенсиональные объяснения функций, действительных чисел и т. д. опускают все интенсиональное — хотя они его предполагают — и отнесены к постоянно воспроизводимой внешней форме. 36.

Наше затруднение на самом деле начинается с бесконечной прямой; хотя мы уже в детстве учили, что прямая не имеет конца, и мне неизвестно, чтобы эта идея когда-либо вызывала у кого-нибудь затруднение. А что, если некий финитист попытался бы заменить это понятие понятием прямого отрезка определенной длины?!

Но подобная прямая — это закон ее продолжения. 37.

Что в ДЕДЕКИНДОВОЙ экстенсиональной трактовке вводит в заблуждение, так это идея о том, что действительные числа распределены на числовой оси. Можно их знать или не знать, это не имеет значения. И таким образом, достаточно лишь сделать сечение или поделить их на классы, и тем самым им всем будет указано их место. Именно благодаря комбинации вычисления и конструирования возникает идея о том, что на прямой, если не допустить V2 в качестве меры расстояния от 0, должна быть оставлена некая точ-

«Ведь если бы я действительно точно конструировал, то окружность должна была бы рассечь прямую между ее точками». Это невероятно путаная картина.

Иррациональные числа — это, так сказать, частные случаи. В чем состоит применение понятия прямой, утрачивающей ту или иную точку?! Такое применение должно быть «обычным». Выражение «прямая, утрачивающая некую точку» — это ужасающе де- зориентирующая картина. Ужасающий разрыв между иллюстрацией и применением. 38.

Универсальность функций есть, так сказать, неупорядоченная универсальность. И наша математика построена на такой вот неупорядоченной универсальности. 39.

Если вообразить себе общее исчисление функций, не подкрепленное примерами, то встречающиеся в учебниках туманные объяснения с помощью таблиц истинности и диаграмм, стали бы вполне уместны как указания на то, каким образом можно было бы, скажем, придать тот или иной смысл этому исчислению. Представь себе, что кто-то говорит: «Я хочу слышать композицию, которая развивается так»:

Разве это было бы непременно бессмысленно? Неужели не могла бы существовать композиция, позволяющая показать, что она в каком-то важном смысле соответствует этой линии? Или же допустим, что непрерывность считалась бы свойством знака „Х2 4- г/2 = ?2"? — конечно, лишь при том, что это и другие уравнения обычным образом подлежали бы известному виду проверки. «Так данное правило (уравнение) подвергается этой особой проверке». Проверке, осуществляемой с оглядкой на тот или иной вид экстенсии [наглядно-геометрического изображения]. При такой проверке данного уравнения предпринимается нечто, связанное с определенными экстенсиями. Хотя не следует думать, будто речь здесь идет об экстенсии, каким-то образом эквивалентной самому уравнению. Делается лишь, так сказать, намек на определенные экстенсии. — И суть тут не в экстенсии, которая только faute de mieux* описывается интенсионально; напротив, эта интенсия разъясняется — или изображается — с помощью определенных экстенсий, получаемых из нее то тут, то там. Протекание определенных экстенсий попутно освещает алгебраическое свойство функции. Выходит, в этом смысле можно ска- зать, что изображение гиперболы попутно проясняет уравнение гиперболы.

Этому не противоречит то, что такие экстенсии представляют собой важнейшее применение данного правила; ведь рисовать эллипс — это одно, а конструировать его с помощью его уравнения — это совсем другое. —

Так же как я бы сказал, что экстенсиональные рассуждения (например, теорема ГЕЙНЕ—БОРЕЛЯ) показывают: так следует обращаться с интенсиями.

Теорема дает нам в общих чертах метод обращения с интенсиями. Она говорит примерно следующее: «Это должно будет выглядеть так».

И тогда можно, например, так или иначе проиллюстрировать метод работы с определенными интенсиями. Иллюстрация — это знак, описание, которое особенно легко уясняется и запечатлевается в памяти.

Иллюстрация как раз и будет задавать здесь способ работы. Некое учение о размещении фигур на картине (рисунке) — например, исходя из общих эстетических принципов— независимо от того, что делают эти фигуры: борются, ласкают друг друга и т. д. Теория функций как своего рода схема, которая, с одной стороны, охватывает огромное множество примеров, а с другой стороны, предстает как некий стандарт классификации случаев. В обычном изложении вводит в заблуждение видимость того, будто общее вполне можно понять и без всяких примеров, без какой- либо мысли об интенсиях (во множественном числе), ибо в самом деле все могло бы быть понято экстенсионально, не будь это невозможно по внешним причинам.

40. ДЕДЕКИНД дает общую схему способа выражения; так сказать, логическую форму рассуждения.

Общая формулировка процедуры. Эффект подобен эффекту введения слова «упорядочение» для общего объяснения функций. Вводится общий способ выражения, весьма полезный для изображения математической процедуры. (Подобно тому, как это происходит в аристотелевской логике.) Но опасно вот что: обретая этот общий способ выражения, обычно полагают, будто получают полное объяснение соответствующих индивидуальных случаев (та же опасность, что и в логике).

Мы определяем понятие правила построения какой-то бесконеч- ной, продолжаемой все дальше и дальше, десятичной дроби. А как обстоит дело с содержанием понятия?! — Так разве нельзя выстроить здание понятия подобно некой емкости, применение для которой всегда найдется? Разве нельзя выстроить форму (форму, к созданию которой побудило какое-то содержание) и таким же образом как бы подготовить для возможного ее использования языковую форму? Ведь эта форма, поскольку она остается пустой, поможет определить и форму математики. В самом деле, разве в этом смысле не открыта и не ожидает самых различных новых применений субъектно - предикатная форма? То есть: верно ли, что все то трудное, что связано с универсальным математическим понятием функции, присутствует уже в аристотелевской логике, поскольку универсальность предложений и предикатов в столь же малой степени может быть охвачена нами, как и универсальность математических функций? 41.

Понятия, входящие в «необходимые» предложения, должны фигурировать и иметь значение и в предложениях, не являющихся необходимыми. 42.

Разве мы бы сказали о ком-то, что он понимает предложение „563 + 437 = 1000", если бы он не знал, как можно это предложение доказать? Можно ли отрицать, что знаком понимания предложения является знание того, как его следует доказывать? Проблему нахождения математического решения теоремы можно с известным правом назвать проблемой придания формуле математического смысла.

Уравнение соединяет два понятия; так что теперь можно переходить теперь от одного к другому.

Уравнение образует понятийную колею. Но является ли понятием понятийная колея? А если нет, существует ли между ними четкая

граница?

Представь себе, что ты научил кого-то технике умножения. Он использует ее в какой-то языковой игре. Чтобы не умножать каждый раз заново, он записывает умножение в сокращенной форме, как уравнение, и использует его там, где раньше умножал. И тогда он говорит о технике умножения, что она устанавливает связи между понятиями. То же самое он скажет и об умножении как картине этого перехода. И наконец, об уравнении: ибо существенно ведь, что переход можно изобразить и просто с помощью схемы уравнения. Чтобы, таким образом, не надо было все

время делать переход заново.

Но будет ли он и теперь склонен говорить о процессе умножения, что тот представляет собой понятие?

Он ведь предстает как движение. Это кажется движением между двумя стационарными точками; эти точки есть понятия. Рассматривая доказательство как мое движение от одного понятия к другому, я не собираюсь утверждать и о нем [доказательстве] самом, что оно тоже есть некое новое понятие. Но разве нельзя рассматривать умножение как одну картину, сравнимую с одним знаком-числом, и разве она не может функционировать и как знак-понятие? 43.

Можно сказать: используя то одну, то другую сторону уравнения, мы используем две стороны одного и того же понятия. 44.

Является ли понятийный аппарат неким понятием? 45.

Как человек показывает, что понимает математическое предложение? Например, тем, как он его применяет. Стало быть, и тем, что он его доказывает, не так ли?

Можно сказать: доказательство показывает новую взаимосвязь, потому оно дает и новое понятие.

Не является ли тем новым понятием само это доказательство? Если доказательство приведено, ты безусловно можешь составить новое суждение. Ибо после этого о каком-то определенном образце можно говорить, что он является или не является этим доказательством.

Да, но является ли образцом доказательство, рассмотренное, истолкованное как доказательств о? Как доказательств о, скажу так, оно должно меня в чем-то убеждать. В ответ на него я готов что-то делать или оставить это дело. В ответ же на новое понятие я ничего не делаю и не перестаю делать. Итак, смею утверждать: доказательство есть использованная определенным образом картина доказательства.

А то, в чем оно меня убеждает, может быть очень разного типа. (Вспомни доказательства РАССЕЛОВСКИХ тавтологий, доказательства в геометрии и в алгебре.)

Определенный механизм может убедить меня в чем-то (может что-то доказать). Но при каких обстоятельствах — в контексте каких действий и проблем — я буду утверждать, что он меня в чем-то убеждает?

«И все же понятие не убеждает меня ни в чем, ибо оно не предъ- являет мне никакого факта». — А почему бы понятию не убеждать меня прежде всего тем, что я склонен его применять? Почему бы новому, однажды образованному, понятию не позволять мне непосредственно переходить к суждению? 46.

«Понимать математическое предложение» — это очень зыбкое понятие.

Если же заявить: «Дело вообще не в понимании. Математические предложения суть лишь позиции в некой игре», — то это тоже бессмыслица! «Математика» как раз не является четко очерченным понятием.

Отсюда возникает спор о том, является ли доказательство существования, не представляющее собой конструкции, действительно доказательством существования. То есть спрашивается: понимаю ли я предложение «Существует...», если у меня нет возможности найти, где это существует? И здесь есть две точки зрения: я понимаю его, например, как предложение, сформулированное на моем родном языке, то есть постольку, поскольку способен его объяснить (и замечаю, как далеко заходит мое объяснение!). Но что я могу с ним делать? Во всяком случае, не то, что с конструктивным доказательством. И поскольку критерием его понимания служит то, что я в состоянии делать с данным предложением, постольку с самого начала неясно, понимаю ли я его и в какой степени.

Проклятие проникновения математической логики в математику состоит в том, что теперь каждое предложение можно изобразить в математической записи, и потому мы чувствуем себя обязанными понимать его. Хотя ведь этот способ написания представляет собой всего-навсего перевод обычной туманной прозы. 47.

Понятие, по сути, не является предикатом. Мы, правда, иногда говорим: «Эта вещь не бутылка», — но для языковой игры с понятием «бутылка» вовсе не существенно, что в ней дозволены такие суждения. Обрати внимание именно на то, как употребляется в языковой игре то или иное слово-понятие (например, «плита»). Вовсе не обязательно, например, иметь предложение «Это плита», а можно было бы обходиться, скажем, лишь таким: «Вот это плита». 48.

«Математическая логика» совершенно деформировала мышление математиков и философов, объявив поверхностное толкование форм нашего повседневного языка анализом структур фактов. Разумеется, здесь она лишь продолжила сооружение аристотелевской логики. 49.

Совершенно верно: числовой знак соотносится с тем или иным понятийным знаком и только вместе с ним он представляет собой, так сказать, некую меру. 50.

Если ты заглянешь этой мышке в пасть, то увидишь два длинных острых зуба. — Откуда ты это знаешь? — Я знаю, что они есть у всех мышей, а значит, и у этой. (И при этом не говорят: «Эта вещь также является мышью, а значит, у нее тоже есть...») Почему это представляет собой столь важное продвижение вперед? Ну, мы исследуем, например животных, растения и т. д., строим общие суждения и применяем их в особых случаях. — Но ведь это правда, что данная мышь имеет данное свойство, если все мыши имеют его! Это — определение, касающееся использования слова «все». Фактическая же всеобщность заключается в другом. Ну, скажем, во всеобщем распространениии и применении такого метода исследования.

Или: «Этот человек — студент-математик». Откуда ты это знаешь? — «Все люди в этой комнате математики; сюда допущены только они». —

Интересный случай всеобщего: у нас часто есть средство убедиться во всеобщем характере предложения, прежде чем мы примем во внимание особые случаи; и тогда мы выносим суждение об особом случае с помощью всеобщего метода.

Мы дали швейцару приказ впускать только людей с пригласительными билетами и рассчитываем теперь на то, что этот человек, которому позволили войти, имеет приглашение. Для общего логического предложения представляет интерес та постоянно повторяющаяся ситуация, в которой совершается такой переход, а не факт, о коем оно, как нам кажется, повествует. 51.

Если о доказательстве говорят, что оно показывает, как (например) 25 х 25 дают 625, то это, конечно, странная манера выражения, так как арифметический результат — это все же не временной процесс. Но ведь доказательство и не показывает никакого временного процесса.

Представь себе ряд картин. Они показывают, как двое по определенным правилам фехтуют на рапирах. Ведь ряд картин может это показать. Картина относится тут к некоей реальности. Нельзя сказать: она показывает, что фехтование совершается так, но можно сказать: она показывает, как фехтуют. В каком-то ином смысле можно сказать, что изображения показывают, как с помощью трех движений можно перейти от одной позиции к другой. Ну, и они

показывают также, что в ту позицию можно перейти так. 52.

Философ должен так крутиться и вертеться, чтобы увернуться от математических проблем, а не осаждать одну из них — ту, что вроде бы следует решить, прежде чем можно будет двигаться дальше.

Его труд в философии — как бы безделье, простой в математике. Тут не надо возводить новое здание или наводить новый мост, требуется другое: выносить суждение о географии, как она есть теперь. Нам хорошо видны вершины понятий, но неясно видны откосы, позволяющие одному [понятию] переходить в другое. Вот почему в философии математики ничего не дает отливка доказательств в новые формы. Хотя к тому есть сильное искушение. И 500 лет назад могла существовать какая-то философия математики. 53.

Философ — тот, кто должен излечиться от многих недугов рассудка, прежде чем он сумеет прийти к понятиям здравого человеческого разумения.

Если в жизни мы окружены смертью, то в здоровье разума мы окружены безумием. V

1941 и 1944 1.

Роль предложений, в которых речь идет о мерах и которые не являются «эмпирическими предложениями». — Кто-то говорит мне: «Этот отрезок длиной 240 дюймов». Я говорю: «Это 20 футов, то есть примерно 7 шагов», — и таким образом я получаю понятие о длине. — Преобразование основывается на арифметических предложениях и на предложении о том, что 12 дюймов = 1 футу.

Это последнее предложение никто обычно не высказывает как эмпирическое предложение. Говорят, что оно выражает соглашение. Но процесс измерения полностью утратил бы свой привычный характер, если бы, например, выстраивание в ряд 12 отрезков длиной в дюйм каждый не давало, как обычно, некой длины, которая в свою очередь может особым образом сохраняться. Должен ли я поэтому сказать, что предложение „12 дюймов = 1 футу" повествует обо всех этих вещах, придающих процессу измерения его теперешний смысл?

Нет. Данное предложение основывается на некой технике. И если угодно, на физических и психологических фактах, делающих возможной эту технику. Но отсюда не следует, что его смысл сводится к выражению этих условий. Противоположностью такому предложению («12 дюймов = 1 футу») вовсе не является утверждение, что линейки недостаточно жестки или что не все мы считаем и вычисляем одинаковым образом. 2.

Это предложение играет типичную (что не означает простую) роль правила.

С помощью предложения „12 дюймов = 1 футу" я могу сделать предсказание, в частности, о том, что двенадцатидюймовые куски дерева, выложенные в ряд, окажутся равными по длине куску, измеренному другим способом. Стало быть, смысл такого правила заключается, например, в том, что с его помощью можно сделать определенные предсказания. Утрачивает ли оно из-за этого характер правила? —

Почему можно сделать такие предсказания? Что же, все линейки сработаны одинаково; они не разнятся много в длине; куски дерева, распиленные по футу или дюйму, — тоже; наша память достаточно надежна для того, чтобы, считая до 12, мы не повторили цифру дважды и ничего не пропустили; и т. д. А нельзя ли заменить правило каким-либо эмпирическим предложением, гласящим, что линейки сработаны определенным образом, что люди пользуются ими так? Было бы дано нечто вроде этнологического описания этой человеческой институции. Итак, очевидно, что это описание могло бы взять на себя функцию правила.

Тот, кто знает некое математическое предложение, еще ничего не знает. Если в наших операциях возникает путаница, если каждый вычисляет по-разному, один раз — так, а другой раз — эдак, то здесь еще нет никакого вычисления; придя к некоему соглашению, мы только завели наши часы, а вовсе еще не измерили время. Тот, кто знает некое математическое предложение, еще ничего не знает.

То есть это математическое предложение должно быть только строительными лесами для описания.

3. Как простое преобразование выражения может иметь практические последствия?

То, что у меня есть 25 х 25 орехов, можно верифицировать, насчитав 625 орехов, но можно выяснить это и другим способом, более близким к форме выражения „25 х 25". И конечно, именно во взаимосвязи обоих этих способов определения числа состоит цель умножения.

Правило в большинстве случаев обособлено, оно, так сказать, горделиво покоится; хотя то, что делает его значимым, — это факты повседневного опыта.

То, что мне надо сделать, — это что-то вроде описания королевской канцелярии; — при этом я не имею права совершить промах и объяснить королевское достоинство полезностью короля; и все же я не могу оставить без внимания ни полезность, ни достоинство. В практической деятельности я сообразуюсь с результатом преобразования выражения.

А в таком случае как можно утверждать, что высказывания: «Здесь 625 орехов» и «Здесь 25 х 25 орехов», — означают одно и то же? Тот, кто верифицирует предложение «Здесь 625...», верифицирует тем самым и «здесь 25 х 25...», и т. д. И все же одна форма ближе к одному типу верификации, а другая — к другому. Как ты можешь утверждать, что «...625...» и «...25 х 25...» говорят об одном и том же? — Они становятся одним и тем же лишь благодаря нашей арифметике.

Я могу получать то один, то другой тип описания, например, путем счета. То есть получать каждую из обеих форм то тем, то другим образом; но ту и другую различным путем. Тут можно спросить: если предложение «...625...» было верифицировано один раз так, а другой раз иначе, то выражало ли оно рба раза одно и то же?

Или: что происходит, если один метод верифицирования дает „625", а другой — не дает „25 х 25"? — Тогда «...625...» истинно, а «...25 х 25...» ложно? Вовсе нет! — Сомневаться в одном — значит сомневаться и в другом: определенная грамматика, привносимая в эти знаки нашей арифметикой.

Если оба способа счета позволяют обосновать указанное число, то достигается указание лишь на одно число, пусть и в различных формах. Напротив, можно, не впадая в противоречие, сказать: «При одном способе счета у меня получается „25 х 25" (и таким образом, 625), а при другом — не 625 (и таким образом, не 25 х 25)». Арифметика не имеет против этого никаких возражений. То, что арифметика приравнивает друг к другу оба выражения, — это, можно сказать, грамматический трюк. Она тем самым перекрывает определенный тип описания и отводит его в другие каналы. (И необязательно сразу же отмечать, что это связано с фактами опыта.)

4. Предположим, что я научил кого-то умножать, но не с помощью сформулированного общего правила, а только благодаря тому, что он видит, как я решаю для него примеры. Я могу затем написать ему новое задание и сказать: «Сделай с этими двумя числами то же самое, что делал я с прежними». Но я могу также сказать: «Если ты с этими двумя сделаешь то же, что я сделал с другими, то ты придешь к числу...» Что это за предложение? «Ты напишешь то-то» — предсказание. «Если ты напишешь то- то, — значит, выполнишь действие так, как я тебе показывал» — это определение того, что называется «следовать чьему-то правилу».

„Решением этой задачи является..." — Что это за предложение, если я прочитываю это, прежде чем вычислил ответ задачи? «Если ты сделаешь с этими числами то, что я тебе показывал с другими, то получишь...» — это означает: «Результатом этого вычисления является...» — и это не предсказание, а математическое предложение. Но в то же время это все-таки предсказание! — Предсказание особого рода. Так, может неподдельно удивиться человек, обнаружив, что при сложении столбцов на самом деле получается то-то; он может, например, воскликнуть: а ведь, ей- богу, получается это!

Представь себе тогда этот процесс предсказывания и подтверждения как особую языковую игру — я имею в виду изолированно от всего прочего в арифметике и ее применении. Что же так необычно в этой игре в предсказания? То, что мне кажется странным, исчезло бы, если бы предсказание звучало так: «Будучи уверен в том, что последовал моему примеру, ты получишь это» или «Если тебе все будет казаться правильным, то результатом будет это». Такая игра могла бы быть, скажем, связана с введением определенного яда, и предсказание тогда было бы, например, таково, что инъекция повлияет определенным образом на наши способности, на нашу память. — Но если мы можем представить себе игру с введением яда, то почему же мы не можем представить себе такую же игру с введением лекарства? Но и тогда весомость предсказания все еще может опираться на то, что здоровый человек рассматривает это как результат. Или, может быть, что здорового человека это удовлетворяет. «Следуй за мной, тогда ты это выяснишь» не значит, конечно: «Следуй за мной, тогда ты будешь за мной следовать» — и не значит: «Вычисляй так, тогда ты будешь так вычислять». — Но что значит: «Следуй за мной»? В языковой игре это может быть просто приказом: «Следуй сейчас за мной!»

Какова разница между предсказаниями: «Если ты правильно вычисляешь, то получишь это» и «Будучи уверен в том, что ты правильно вычисляешь, ты получишь это»?

Ну, а кто говорит, что в моей вышеописанной языковой игре предсказание не означает последнего? Кажется, что оно этого не означает, но как это проявляется? Спроси себя, при каких условиях данное предсказание казалось бы предсказывающим одно, а при каких — другое. Ибо ясно, что это зависит здесь от остальных условий. Тот, кто мне предсказывает, что я получу это, не предсказывает ли как раз того, что я буду считать правильным этот результат? — «Но так произойдет, — пожалуй, скажешь ты, — именно потому, что это действительно правильно!>> — А что означает это: «Я считаю вычисление правильным, потому что оно правильно»? И все же можно сказать: в моей языковой игре производящий вычисление не думает о том, что факт получения этого является особенностью его существа; факт не кажется ему психологическим. Представляя себе этого человека, я нахожусь под впечатлением, что он лишь как бы следовал уже имеющейся нити. А способ этого следования принимал как нечто само собой разумеющееся, зная только одно объяснение своего действия — а именно движение нити.

Правда, следуя правилу или примерам, он следует им по-своему, но не рассматривает такие действия как некую особенность своего прохождения; он не говорит: «Итак, я проследовал таким образом», — а говорит: «Стало быть, прохождение таково». Но если бы кто-то в конце вычисления в нашей языковой игре все же сказал: «Итак, я отклонился в сторону таким образом\>> или «Итак, я доволен этим отклонением!» — то могу ли я тогда сказать, что он неправильно понял всю языковую игру? Конечно же, нет! Если, помимо этого, он не использует ее каким-либо нежелательным образом.

Не получается ли, что такое применение данного вычисления рождает точку зрения, будто это оно, вычисление, а не мы сами совершаем прохождение?

Почему ты всегда стремишься рассматривать математику в аспекте изыскания, а не в аспекте действия?

Большое влияние должно здесь иметь то, что при вычислении мы употребляем слова «правильно», «истинно», «ложно» и форму утверждений. (Покачивания головой и кивки.)

Почему я должен утверждать, что знание того, что все люди, выучившиеся вычислять, считают именно так, не есть математическое знание? Потому что оно, кажется, указывает на другой контекст.

Является ли, таким образом, подсчет результатов вычисления уже прикладной математикой? А значит, и подсчет моих собственных результатов?

5. Нет никакого сомнения в том, что в определенных языковых играх математические предложения играют роль правил описания — в противоположность предложениям-описаниям. Но это не означает, что такая противоположность не скрадывается во всех направлениях. А это в свою очередь не означает, что эта противоположность не обладает исключительной важностью.

То, что показывает математическое доказательство, представляется внутренним отношением и не подлежит сомнению. 6. Что общего у математического предложения и математического доказательства, из-за чего они оба называются «математическими»? Не то, что математическое предложение должно быть математически доказано; не то, что математическое доказательство должно доказывать некое математическое предложение. Что математического есть в недоказанном предложении (аксиоме)? Что общего между ним и математическим доказательством ? Должен ли я ответить: «Правила вывода математического доказательства всегда являются математическими предложениями»? Или: «Математические предложения и доказательства служат получению вывода»? Это было бы уже ближе к истине. Мы говорим: доказательство — это образ. Но такой образ нуждается в апробации, которую мы ему устраиваем при пересчете. — Вероятно, это так. Но если бы апробация у одного человека получалась, а у другого нет и они не могли прийти к взаимопониманию, было ли это тогда вычислением?

Стало быть, вычислением это делает не одна апробация сама по себе, но прежде всего совпадение апробаций.

Ибо вполне можно представить себе и игру, в которой люди, побуждаемые выражениями, несколько сходными с общими правилами, придумывают себе для определенных практических задач, то есть ad hoc, последовательности знаков, и вполне допустимо, что это даже оправдывало бы себя. И здесь «вычислениям», пожелай мы их так назвать, не было бы необходимости совпадать друг с другом. (Здесь можно было бы говорить об «интуиции».) Совпадение апробаций — это предварительное условие нашей языковой игры, оно в ней не утверждается.

Если какое-то вычисление — служит экспериментом и его условия выполнены, то мы должны признать в качестве результата то, что получается; и если вычисление — эксперимент, то предложение: в результате оно дает то-то, в конечном счете представляет собой предложение о том, что при данных условиях появляется данный тип знаков. Если же при этих условиях получают то один, то другой результат, то нельзя сказать: «Что-то тут не так» или «Оба вычисления не могут быть верными», — а следует сказать: это вычисление не во всех случаях дает один и тот же результат (почему — необязательно должно быть известно). И хотя процесс теперь стал особенно интересным, даже, возможно, еще интереснее, чем прежде, но то, с чем мы имеем дело, уже не вычисление. А это опять-таки некое грамматическое замечание об употреблении слова «вычисление». И в этой грамматике, бесспорно, есть своя изюминка.

Что значит прийти к взаимопониманию относительно разницы в результатах вычисления? Это ведь значит прийти к одинаковому процессу вычислений. Если же достичь понимания не удается, то один из вычисляющих не может сказать о другом, что тот тоже вычисляет, просто с другими результатами.

7. Ну, а должен ли я тогда сказать: один и тот же смысл может иметь лишь одно доказательство? Или: коли найдено доказательство изменяется смысл?

Конечно, кое-кто возразил бы: «В таком случае никогда нельзя найти доказательство предложения, ибо если оно уже найдено, оно перестает быть доказательством этого предложения». Но это еще ни о чем не говорит. —

Все зависит от того, что устанавливает смысл предложения. То о чем мы хотим сказать — устанавливает смысл предложения. Его должно устанавливать употребление знаков; но что мы считаем употреблением? —

То, что оба доказательства доказывают одно и то же предложение, означает примерно следующее: оба характеризуют его как подходящий инструмент для достижения одной и той же цели. А целью является намек на вне-математическое. Я однажды сказал: «Если хочешь знать, о чем говорит математическое предложение, посмотри, что доказывает его доказательство». Не заключены ли в этом одновременно как истинное, так и ложное? Действительно ли смысл, суть математического предложения становятся ясными, как только мы можем следовать за доказательством?

Если два доказательства доказывают одно и то же предложение, то можно, в общем-то, представить себе условия, в которых исключается все связанное с этими доказательствами окружение, так что они предстают одинокими и голыми, и тогда нет никакого основания утверждать, что у них было что-то общее, что они доказывали одно и то же предложение.

Стоит лишь вообразить себе такие доказательства вне включающего и связывающего их организма применения, как они предстают, так сказать, нагими и босыми. (Как две кости скелета, освобожденные от окружающих их разнообразных связей организма, в системе которого мы только и привыкли мыслить себе их.) Когда мы говорим о различных образных рядах, что они продемонстрировали, например, что 25 х 25 = 625, то довольно просто узнать, что фиксирует то место данного предложения, к которому ведут оба пути.

То или иное новое доказательство встраивает предложение в некий новый порядок; при этом часто происходит перевод одного типа операций в совершенно другой. Словно мы переводим уравнения в кривые. И тогда мы узнаем что-то о кривых, а тем самым и об уравнениях. Но по какому праву мы позволяем убедить себя с помощью хода мысли, который, как кажется, совершенно далек от объекта наших мыслей?

Так ведь наши операции не более далеки от нашего объекта, чем, например, деление в десятичной системе от распределения орехов! Особенно если представить себе (а это легко сделать), что такая операция первоначально была придумана для другой цели, чем разделение, и т. п.

Если ты спросишь: «По какому праву?», — то ответом будет: может быть, и без всякого права. — По какому праву ты говоришь, что продолжение этой системы будет идти параллельно той? (Словно бы ты признал единицами измерения одновременно и дюйм и фут и утверждал бы, что 12п дюймов будут всегда иметь ту же длину, что и п футов.)

8. В РАССЕЛОВСКОМ »~f(f)" отсутствует прежде всего применение, а поэтому и смысл.

Если же эту форму все-таки применяют, то тем самым не говорится, что должно быть предложением в каком-то привычном смысле или что должно быть пропозициональной функцией. Ибо понятие предложения, кроме понятия предложения логики, объясняется РАССЕЛОМ ТОЛЬКО В общих, традиционных чертах.

Здесь смотрят на язык, не глядя на языковую игру. Предположим, что мы производим вычисление с помощью чисел и иногда используем также деление с помощью выражений формы (п — п) и таким способом получаем тут и там результаты умножения, отличающиеся от обычных, и т. д. Но это никому бы не мешало. — Сравни с этим: мы составляем списки, перечни лиц, но не так, как это обычно делаем, не в алфавитном порядке; и тогда получается, что одно и то же имя в некоторых списках

встречается чаще одного раза. Но ведь можно предположить,

что этого никто не замечает или же что люди это видят, но принимают совершенно спокойно. Так, можно представить себе людей некоего племени, которые, если у них монеты падают на землю, полагают, что не стоит труда их поднимать. (У них, допустим, есть для таких случаев поговорка: «Это принадлежит другим» — или что-то в этом роде.)

Но вот времена меняются, и люди (вначале лишь немногие) начинают требовать точности. Имея на это право? Без всякого права? — И что же, прежние перечни не были тогда собственно перечнями? —

Скажем, мы получили некоторые результаты наших вычислений путем скрытого противоречия. Становятся ли они из-за этого незаконными? — А если теперь мы решительно не желаем признать такие результаты и все же опасаемся, что некоторые из них могут вкрасться в наши подсчеты. — Что ж, тогда у нас будет идея, способная послужить образцом для некоего нового исчисления. Подобно тому как может возникнуть идея какой-то новой игры.

РАССЕЛОВСКОЄ противоречие беспокоит нас не потому, что оно — противоречие, а потому, что весь нарост, кульминацией которого оно является, представляет собой раковую опухоль, возникшую, как кажется, без цели и смысла из нормального тела. Можно ли тогда сказать: «Мы стремимся к такому исчислению, которое будет с большей надежностью говорить нам истину»? Но ведь ты же не можешь признать противоречие! — Ну почему же не могу? Мы ведь иногда употребляем эту форму в нашей речи, правда, довольно редко, — но можно в общем представить себе языковую технику, в которой оно было бы постоянным инструментом. Можно, например, сказать о некоем объекте в движении, что он существует и вместе с тем что он не существует в данном месте; изменение могло бы быть выражено через противоречие. Возьми какую-нибудь музыкальную тему, например глйдновскую (хорал св. Антония), возьми часть одной из БРАМСОВСКИХ вариа- ций, которая соответствует первой части данной темы, и поставь себе задачу создать вторую часть вариации в стиле ее первой части. Эта проблема — того же типа, что и математические проблемы. Если решение найдено, например такое, какое предлагает БРАМС, ТО сомнений нет — это является решением. С этим способом решения мы согласны. И все же здесь ясно, что вполне могут существовать разные пути, с каждым из которых мы можем согласиться, каждый из которых мы могли бы назвать последовательным .

«Мы совершаем только законные — то есть разрешенные правилами — шаги и вдруг приходим к противоречию. Тогда перечень правил, как он есть, оказывается бесполезным, ибо противоречие опрокидывает всю игру». Почему же ты позволяешь ему опрокидывать ее?

Но я хочу, чтобы можно было механически, по правилам, делать дальнейшие заключения, не получая противоречивых результатов. Так вот, к какому типу предвидения ты стремишься? К такому, которого не допускает твое нынешнее исчисление? Что ж, из-за этого оно не становится плохим разделом математики или же не в полном смысле математикой. Тебя вводит в заблуждение смысл слова «механически».

9. Если ты ради практической цели хочешь механически избежать противоречия, на что не способно пока твое исчисление, то это похоже примерно на то, как если бы ты искал конструкцию ...угольника, который до сих пор мог начертить лишь методом проб и ошибок, или же как если бы ты искал решение уравнения третьей степени, к которому ты до сих пор лишь приближался. Здесь не улучшается плохая математика, а изобретается новый раздел математики.

Предположим, что я хочу так определить некое иррациональное число, чтобы в его разложении не появлялось сочетание „777". Я мог бы взять л и предписать: если эта фигура возникает, мы будем вместо нее ставить ООО. И вот мне говорят: этого недостаточно, ибо тот, кто рассчитывает позиции, не имеет возможности оглядываться на прежние. Тогда мне нужно другое исчисление; такое, чтобы я мог быть заранее уверен в том, что оно никак не даст „777". Математическая проблема.

«Пока непротиворечивость не доказана, я никогда не смогу быть совершенно уверен в том, что кто-то, выполняющий счет машинально, но по правилам, не вычислит что-нибудь не то».

Поскольку не достигнуто такое предвидение, исчисление ненадежно. — Но представь, я спросил бы: «Как ненадежно?» — Поведи мы речь о степенях ненадежности, разве это не могло бы помочь нам вырвать из нее метафизическое жало?

Разве первые правила исчисления были нехороши? Так ведь мы и задали их только потому, что они были хороши. — Если позже выявлено противоречие, значит, они не выполнили своей задачи? Да нет же, для такого применения они не предназначались. Я могу желать придать моему исчислению определенного рода провидение. Оно не сделает его собственной частью математики, но сделает его более полезной для определенной цели. Идея механизации математики. Мода на аксиоматические системы. 10.

Но предположим, что «аксиомы» и «способы вывода» суть не просто какие-то способы конструирования, но и вполне убедительные способы! И тогда это означает, что существуют случаи, в которых конструкция, сооруженная из таких элементов, не убеждает.

И действительно, логические аксиомы совершенно неубедительны, если мы в качестве пропозициональных переменных берем структуры, которые первоначально никто не предусматривал в качестве возможных значений, тогда как истинность аксиом (изначально) получила безусловное признание.

А что, если сказать: аксиомы и способы вывода должны быть выбраны так, чтобы они не могли доказать никакого ложного предложение?

«Мы стремимся получить не какое-то достаточно надежное, но некое абсолютно надежное исчисление. Математика должна быть абсолютной».

Предположим, что я установил правила для игры «Лиса и охотник», игра мне представляется развлекательной и забавной. — Однако затем обнаруживаю, что охотник может всегда выигрывать, стоит ему один раз узнать, как это делается. Теперь я, скажем, недоволен своей игрой. Заданные мной правила привели к результату, которого я не предвидел и который портит мне игру. 11.

«N. столкнулся с тем, что при расчетах часто производилось сокращение с помощью выражений типа „(д — д)". Он вскрыл возникающую вследствие этого разницу в результатах и показал, как из-за применения этого типа вычислений были потеряны человеческие жизни». Но предположим, что другие люди также заметили эти противоречия, только не могли дать себе отчет в том, откуда они берутся. Они, так сказать, производили вычисления с нечистой совестью. Из числа противоречивых результатов они выбирали один, но без неуверенности, в то время как открытие, сделанное N., дало им полную уверенность. — Но сказали ли они себе: «С нашим исчислением что-то не в порядке»? Была ли их неуверенность сродни нашей, когда, проводя физический расчет, мы не были уверены в том, что эти формулы действительно дадут здесь правильный результат? Или же это было сомнением в том, что производимые ими вычисления действительно были вычислениями? В таком случае что они сделали для того, чтобы устранить затруднение? Люди до сих пор лишь очень редко производили сокращение с помощью выражений со значением 0. Но вдруг кто-то открывает, что таким образом они действительно могут вычислить любой результат. — Что они теперь делают? Здесь возможны разные варианты. Они, например, могут объявить, что этот тип вычислений потерял из-за этого свою занимательность и что в будущем не следует более вычислять таким образом.

Хочется сказать: «Он полагает, что производит вычисления, а на самом деле он не вычисляет».

12. Если вычисление потеряло для меня свою занимательность, поскольку я знаю, что мог бы теперь вычислить все, что угодно, — то разве оно не представляло для меня какого-то интереса тогда, когда я этого еще не знал?

Я, конечно, могу объявить теперь все эти вычисления аннулированными — ведь я же как раз бросил заниматься ими, но

означает ли это, что они и не были вычислениями? Когда-то, сам того не понимая, я сделал заключение при наличии скрытого противоречия. Является ли теперь мой результат ложным или же неправильно полученным?

Если противоречие так хорошо скрыто, что его никто не замечает, так почему бы нам не называть то, что делаем сейчас, подлинным вычислением?

Мы говорим, что противоречие разрушило бы исчисление. Но если оно проявляется, так сказать, лишь крошечными дозами, как бы мерцая, не как постоянное вычислительное средство, то уничтожит ли оно исчисление и тогда? Представь себе, что люди вообразили, будто (а + Ъ)2 должно быть равным а2 + Ы. (Является ли это заблуждением такого же типа, как и то, что должна существовать трисекция угла с помощью линейки и циркуля?) То есть можно ли вообразить, что два способа вычисления должны давать одинаковый, если не один и тот же результат?

Я складываю столбец, делаю это различным образом, беру, например, числа в разной последовательности и получаю снова и снова беспорядочно разный результат. — Я, вероятно, скажу: «Я совсем запутался; делаю либо беспорядочные ошибки в вычислении, либо определенные ошибки в определенной связи: например, после „6 + 3 = 9" всегда говорю: „7 + 7 = 15". Или я мог бы представить себе, что вдруг в какой-то момент вычисления вычитаю вместо того, чтобы складывать, не подозревая при этом, что делаю что-то не то.

Могло бы быть и так, что я не нахожу ошибки и считаю себя помешанным. Но такой моя реакция быть не должна. «Противоречие отменяет исчисление» — откуда взялась эта странная констатация? Ее можно, как я полагаю, поколебать с помощью некоторой доли фантазии.

Чтобы решить эту философскую проблему, надо сравнить между собой такие вещи, сравнивать которые еще никому всерьез не приходило в голову.

В этой области можно спросить о чем угодно, хотя и относящемся к делу, но не касающемся его сути.

Определенный ряд вопросов, затронув сердцевину, проскакивает

наружу. На другие отвечают между делом.

Найти путь через сердцевину необычайно трудно.

Он проходит через новые примеры и сравнения. Отработанные

примеры и сравнения нам его не укажут.

Предположим, что РАССЕЛОВСКОЄ противоречие так и не найдено. Вполне ли здесь очевидно, что мы тогда имели бы ложное исчисление? Разве здесь нет разных возможностей? А что, если мы хотя и нашли противоречие, но больше по его поводу не волнуемся и, например, установили, что из него не следует делать никаких выводов? (Так же как никто не делает выводов из логического парадокса «лжец».) Было ли бы это очевидной ошибкой?

«Но ведь тогда это все же не подлинное исчисление! Оно же утрачивает всякую строгость!» Нет, не всякую. И оно только тогда лишено полной строгости, когда ориентируются на определенный идеал строгости, стремятся к особому стилю математики.

«Но ведь противоречие в математике несовместимо с применением

математики».

«Если бы противоречие упорно использовалось, скажем, для получения всевозможных результатов, то это сделало бы применение математики фарсом или чем-то вроде излишней цёремонии. Его действие отчасти сходно с действием нежестких линеек, которые из-за растяжения и сжатия допускают разные результаты измерения». Но разве измерение шагами не было измерением? И если бы люди применяли линейки из теста, разве следовало бы это само по себе назвать ложным?

Разве так уж трудно придумать причины, почему известная растяжимость линеек была бы желательной?

«Но не правильнее ли изготовлять линейки из постоянно твердого, более устойчивого материала?» Конечно, правильно; если этого хотят! «Значит, ты берешь под защиту противоречие?!» Да вовсе нет; столь же мало, как и мягкие линейки.

Следует избегать одной ошибки: полагают, что противоречие должно быть бессмысленным; то есть если, например, последовательно использовать знаки „р", „~", „•", то „р • ~р" не сможет нам ничего сказать. — Но подумай: что значит «последовательно» продолжать то или иное употребление? («Последовательно продолжать этот отрезок кривой».)

13. Зачем математике нужно обоснование?! Я полагаю, оно нужно ей не более, чем предложениям, повествующим о физических предметах или же о чувственных впечатлениях, — нужен их анализ. Однако математические предложения, равно как и все другие, нуждаются в выяснении их грамматики.

Математические проблемы так называемых оснований в столь же малой степени лежат для нас в основе математики, в какой нарисованная скала несет на себе нарисованную крепость. «Но разве ФРЕГЕВская логика не становится из-за противоречия непригодной для обоснования арифметики?» Становится! Но кто же утверждал, что она должна быть пригодной для этой цели?! Можно даже представить себе, что ФРЕГЕвская логика дана в качестве инструмента дикарю, чтобы он выводил с ее помощью арифметические предложения. Он вывел противоречие, не заметив, что это — противоречие, и теперь из него выводит любые истинные и ложные предложения.

«Добрый ангел до сих пор хранил нас от этого пути». Чего же ты еще хочешь? Полагаю, можно сказать: добрый ангел будет нужен всегда, что бы ты ни делал.

14. Говорят: процесс вычисления — это эксперимент с целью показать, как это может быть столь практичным. Ведь об эксперименте мы знаем, что он действительно имеет практическую ценность. Мы только забываем, что он обладает этой ценностью благодаря некоей технике, которая является естественно-историческим фактом, но правила которой не играют роли предложений естественней истории.

«Границы эмпиризма». — (Живем ли мы потому, что жить практично? Мыслим ли мы потому, что мышление практично?) Ему известно, что эксперимент практичен, значит, вычисление — это эксперимент.

Правда, наши экспериментальные действия имеют характерный облик. Если я вижу, как кто-то в лаборатории льет жидкость в пробирку и нагревает ее над горелкой БунзЕна, то я склонен сказать, что он проводит эксперимент.

Предположим, что люди, умеющие считать, хотят— как и мы — знать числа для различного рода практических целей. И об этом они спрашивают определенных людей, которые, когда им объяснили практическую проблему, закрывают глаза и ждут, пока им

не придет в голову соответствующее число, в этом случае мы

имели бы дело не с вычислениями, сколь бы надежным ни было такое определение чисел. Подобное определение чисел практически могло бы быть даже более надежным, чем любое вычисление. Вычисление, можно сказать, есть некая составляющая техники эксперимента, но само по себе оно не эксперимент. Но не забываем ли мы о том, что к эксперименту относится и определенное применение процедуры? А вычисление содействует применению.

Разве кому-нибудь могло бы прийти в голову назвать перевод шифрованного сообщения с помощью некоего ключа экспериментом? Если я сомневаюсь в том, что числа мит, будучи перемноженными, дадут Z, то я сомневаюсь совсем не в том, возникнет ли в процессе нашего вычисления путаница, когда, например, половина людей будут считать правильным одно, а другая половина — другое.

Некое действие является «экспериментом» лишь с определенной точки зрения. И ясно, что вычислительное действие также может быть экспериментом.

Допустим, я хочу проверить, что вычисляет этот человек при таких условиях, имея в виду эту постановку задачи. — Но разве это не то, о чем ты спрашиваешь, когда хочешь знать, сколько будет 52 х 63! Я вполне могу спросить это — мой вопрос может быть даже выражен именно этими словами. (Сравни с этим: является ли предложение «Прислушайся, она стонет!» предложением о ее поведении или о ее страдании?)

Ну, а что, если я, предположим, пересчитаю его вычисление? — «Что ж, тогда я проделаю еще один эксперимент, чтобы выяснить совершенно точно, что все нормальные люди реагируют йменно так». — А если они реагируют не одинаково, то какой из результатов будет математическим?

15. «Чтобы быть практическим, вычисление должно обнаруживать факты. А на это способен только эксперимент». Но какие «факты»? Полагаешь ли ты, что можешь продемонстрировать, какие факты имеются в виду, например, указывая на них пальцем. Прояснит ли это роль, которую играет «установление» факта? — А что, если лишь математика определяет характер того, что ты называешь «фактом»!

«Интересно знать, сколько колебаний имеет этот звук». Но ведь именно арифметика и научила тебя этому вопросу. Она научила тебя видеть этот тип фактов.

Математика — хочу я сказать — учит тебя не просто ответу на какой-то вопрос; она учит тебя целостной языковой игре, включающей вопросы и ответы.

Должны ли мы сказать, что математика учит нас считать? Можно ли сказать о математике, что она учит нас экспериментальным способам исследования? Или же она помогает нам открыть такие способы? «Чтобы быть практической, математика должна учить нас фактам». — А должны ли эти факты быть математическими фактами? — Но почему бы ей вместо того, чтобы «учить нас фактам», не создавать формы того, что мы называем фактами? «Да, но остается еще тот эмпирический факт, что люди производят вычисления именно так!» — Да, но тем самым их вычислительные предложения не становятся эмпирическими предложениями. «Да, но наши вычисления должны ведь основываться на эмпири- ческих фактах!» Конечно. А какие из этих фактов ты имеешь в виду? Психологические и физиологические, делающие счет возможным, или те, что превращают его в полезную деятельность? Взаимосвязь со вторыми состоит в том, что вычисление есть определенная картина эксперимента, а именно, того, как он всегда нормально протекает. От первого рода фактов вычисление получает свой смысл, свой облик: но это отнюдь не говорит о том, что предложения математики имеют функции эмпирических предложений. (Это было бы равносильно предположению: так как по ходу пьесы появляются только актеры, то на сцене театра не могли бы найти полезного применения никакие другие люди.) В вычислении нет никаких каузальных взаимосвязей, только модельные взаимосвязи. И здесь ничего не меняет то, что мы проверяем ход доказательства для того, чтобы признать его. Как несущественно и наше искушение сказать, что он создается в психологическом эксперименте. Ибо в ходе вычисления не исследуется психологическое протекание процесса.

«В минуте 60 секунд». Это — предложение, весьма сходное с математическим. Зависит ли его истинность от опыта? — А разве мы могли бы вести речь о минутах и секундах, если бы у. нас не было чувства времени; если бы не было или, в силу физических причин, не могло быть часов; если бы не существовало всех тех взаимосвязей, которые придают смысл и значение нашим измерениям времени? В этом случае — сказали бы мы — измерение времени потеряло бы свой смысл (как не имело бы смысла ставить мат, если бы исчезла игра в шахматы) — или оно имело бы тогда совершенно иной смысл. — Но разве бы сделал какой-то из описанных таким образом опытов предложение ложным, а иной опыт — истинным? Нет; это не описывало бы его функцию. Оно функционирует совершенно иначе.

«Для того чтобы быть практическим, вычисление должно основываться на эмпирических фактах». — Почему бы ему лучше не определить, что собой представляют эмпирические факты? Обдумай: «Наша математика преобразует эксперименты в дефиниции».

16. А неужели нельзя представить себе человеческое общество, в котором не существует ни процесса вычислений в нашем смысле, ни измерения в нашем смысле? — Можно. — Зачем же тогда стараться выяснить, что есть математика?

Потому что у нас есть математика и существует efe особое понима- ние, как бы некий идеал ее положения и функции, — все это требует ясной проработки.

Не требуй слишком многого и не опасайся, что твое справедливое требование ни к чему не приведет.

Моя задача заключается в том, чтобы критически подойти к логике РлссЕла не изнутри, а снаружи.

Это значит: не подходить к ней математически — иначе я буду заниматься математикой, — а уяснять ее положение, ее обязанности. Моя задача заключается в том, чтобы говорить, например, не о ГЕДЕЛЄВСКОМ доказательстве, а минуя его, вокруг него. 17. Задачу: найти число путей, по которым можно проследить линии стыков этой стены, не перескакивая и не повторяясь, каждый признает математической задачей.

— Если бы рисунок был гораздо сложнее и больше, не схватывался взглядом, то можно было бы предположить, что он незаметно для нас изменяется, и тогда задача найти такое число (которое, вероятно, закономерно изменяется) уже не была бы математической задачей. Но и в том случае, если оно остается тем же, задача также не является математической. — Да и тогда, когда стена обозрима, тоже нельзя сказать, что задача становится математической, подобно тому как говорят: эта задача является вопросом эмбриологии. Правильнее сказать: здесь нам нужно некое математическое решение. (Равно как: в чем мы здесь нуждаемся — так это в образце.)

«Признали» бы мы проблему математической из-за того, что в математике речь идет о повторении линий рисунка? Почему же тогда мы склонны запросто назвать эту проблему «математической»? Потому что мы сразу видим, что здесь ответ на математический вопрос представляет собой практически все, что нам нужно. Хотя эту проблему легко можно было бы счесть, например, психологической.

То же самое и с задачей сложить лист бумаги определенным образом. Может создаться впечатление, что математика является здесь наукой, которая экспериментирует с единицами, то есть проделывает эксперименты, где не важны типы этих единиц, будь то горошины или стеклянные шарики, штрихи и т. д. — Она выясняет лишь то, что является общим для всех них. Так, например, не их точку плавления, а то, что 2 и 2 здесь есть 4. И проблема стены представляет собой как раз математическую проблему, а значит, она может быть решена с помощью этого типа эксперимента. — Ив чем же состоит математический эксперимент? В общем, в раскладывании и перемещении вещей, проведении штрихов, записывании выражений, предложений и т. д. И не надо смущаться тем, что внешнее проявление этих экспериментов не есть проявление физических, химических и т. д. экспериментов, — они-то как раз другого рода. Здесь есть только одна сложность: то, что происходит, достаточно легко увидеть, описать, но как следует рассматривать это в качестве эксперимента? Где здесь голова, а где нога эксперимента? Где условия эксперимента, а где его результат? Является ли результатом то, что дает вычисление, или изображение вычисления, или одобрение (в чем бы оно ни заключалось) того, кто вычисляет?

Становятся ли, например, законы динамики предложениями чистой математики из-за того, что их интерпретация остается открытой и ее используют для создания измерительной системы? «Математическое доказательство должно быть обозримым» — это связано с определенной наглядностью той фигуры. 18. Не забудь: предложение, утверждающее о самом себе, что оно недоказуемо, следует считать математическим утверждением, ибо это не что-то само собой разумеющееся.

Столь же не самоочевидно и то, что следует считать математическим предложение, утверждающее о невозможности построения некоей структуры.

То есть если говорят: «Оно сообщает о самом себе», — то это надо понимать особым образом. Ибо тут легко возникает путаница из-за разного употребления выражения «Это предложение сообщает нечто о...».

В этом смысле предложение „625 = 25 х 25" также сообщает нечто о самом себе; а именно то, что левая цифра будет получена, если перемножить стоящие справа цифры. Геделевское предложение, которое сообщает нечто о самом себе, само себя не упоминает.

«Предложение говорит, что это число нельзя получить из этих чисел этим способом». — Но уверен ли ты также в том, что ты пра- вильно перевел его на русский? Да, конечно, кажется, что так. — Но разве нельзя здесь ошибиться?

Можно ли сказать: Гедель говорит, что надо уметь доверять математическому доказательству, если мы хотим рассматривать его практически как доказательство конструируемое™ предложения- образца по правилам доказательства?

Или: математическое предложение должно позволять рассматривать себя как предложение некоей действительно применимой к самой себе геометрии. И если это сделать, то окажется, что в некоторых случаях на доказательство полагаться нельзя. Границы эмпирии — это не допущения, признаваемые правильными лишь интуитивно, не являющиеся достоверными; это нечто иное: способы сравнения и действия.

19. «Предположим, мы имеем арифметическое предложение, гласящее, что определенное число ... не может быть получено из чисел ..., ..., ... с помощью таких-то и таких-то операций. И предположим, что может существовать правило перевода, согласно которому это арифметическое предложение переводимо в цифры первого числа; аксиомы, исходя из которых мы пытаемся его доказать, — в цифры других чисел; а наши правила вывода — в упоминаемые в предложении операции. — Если бы тогда мы вывели арифметическое предложение из аксиом, следуя нашим правилам вывода, то тем самым мы продемонстрировали бы его выводимость, а также доказали бы предложение, которое можно выразить с помощью такого правила перевода: это (то есть наше) арифметическое предложение невыводимо».

Что же тогда оставалось бы делать? Я полагаю, довериться нашей конструкции знака-предложения, то есть геометрическому доказательству. Так, мы говорим, что это «пропозициональное сочетание» можно получить из тех таким-то способом. А в переводе, в другой записи, это означает: такая цифра может быть получена из тех других с помощью этих операций. В этом смысле предложение и его доказательство не имеют ничего общего с какой-то особой логикой. Здесь такое сконструированное предложение было просто другим способом записи сконструированной цифры; оно имело форму предложения, но мы не сравниваем его с другими предложениями как знак, который нечто говорит, имеет некий смысл. Но, конечно, следует сказать, что такой знак не нуждается в том, чтобы его рассматривали ни как знак-предложение, ни как числовой знак. — Спроси себя: что делает его одним, а что другим? Если мы теперь прочтем сконструированное предложение (или цифру) как предложение математического языка (например, по- русски), то оно выразит нечто противоположное тому, что мы как раз считали доказанным. То есть, продемонстрируй мы его конструкцию как доказательство, полученное, исходя из принятых аксиом, с помощью принятых правил вывода — мы бы продемонстрировали ложность действительного смысла предложения и одновременно доказали его.

Упрекни нас кто-либо в невозможности таких предположений на том основании, что они были бы логическими или математическими допущениями, мы бы ответили: достаточно лишь предположить, что в вычисление вкралась ошибка, которую пока не удается найти и за счет которой и был получен «предполагаемый» нами результат.

Здесь мы снова возвращаемся к выражению «доказательство убеждает нас». Притом нас интересует не выражение убеждения голосом или жестом, не связанное с ним чувство удовлетворения или что-то в этом роде, а подтверждение убеждения при использовании доказанного.

Правомерно спросить, каково значение доказательства ГЕДЕЛЯ ДЛЯ нашей работы. Ведь никакой фрагмент математики не может решить ни одну из тех проблем, что волнуют нас. — Ответ таков: интерес представляет ситуация, в которую нас вводит такое доказательство. «Что мы должны тут сказать?» — такова наша тема. Как бы странно это ни звучало, моя задача в связи с теоремой ГЕДЕЛЯ состоит, по-видимому, лишь в том, чтобы выяснить, что означает в математике предложение типа «Предположим, что это можно доказать».

20. Представляется совершенно естественным спрашивать «сколько?» и затем считать и вычислять!

Считаем ли мы потому, что считать практично? Да, считаем! — И таким же образом вычисляем.

На основе эксперимента — или как еще его назовешь — иногда можно верно определить размеры измеряемого, а иногда даже надлежащую меру.

Тогда, выходит, единица измерения есть, таким образом, результат измерений? И да, и нет. Не результат измерения, а, пожалуй, следствие измерений.

Возможен такой вопрос: «Учил ли нас опыт производить вычисле- ния таким образом!» — или другой: «Является ли вычисление экспериментом ? » 21.

Почему бы не сказать, например, что противоречие „гетерологический" є гетерологический = ~ („гетерологический" є гетеро- логический) обнаруживает некое логическое свойство понятия «гетерологический»?

Предложения: «„Двухсложный" — это гетерологический» или «„Трехсложный" — это не гетерологический» представляют собой эмпирические предложения. Может быть, в некоторых контекстах было бы важно выяснить, обладают ли прилагательные теми же свойствами, которые они обозначают % или нет. Тогда в языковой игре применяли бы слово „гетерологический". Но неужели при этом полагали бы, что предложение -«„/І" Є h>> является эмпирическим предложением? Оно явно таковым не является, и нам не следовало бы допускать его в нашу языковую игру в качестве предложения, даже если бы мы и не обнаружили указанного противоречия. ,,/Ї" є /Ї = ~(„/Ї"Є h) можно назвать „истинным противоречием". — Но ведь это противоречие не является осмысленным предложением! Прекрасно, но ведь логические тавтологии тоже не предложения.

«Противоречие истинно» означает здесь: оно доказано; выведено из правил для слова «/і». Его использование заключается в демонстрировании того, что «„/і"» принадлежит к тем словам, которые, будучи включены в є /г", не создают предложения. «Противоречие истинно» значит: это действительно противоречие, и неправомерно использовать слово «„/і"» как аргумент в є /і". 22.

Я устанавливаю некую игру и говорю: «Если ты сделаешь этот ход, то я пойду так, а если ты сделаешь такой ход, то я буду ходить так. — Теперь играй!» И вот он делает ход или нечто, что я должен признать ходом, а когда я хочу в ответ на это ходить по моим правилам, то оказывается, что бы я ни делал, это не соответствует правилам. Как могло это случиться? Устанавливая правила, я что-то сказал: я следовал известному обычаю. Я не предвидел, что мы будем делать дальше, или видел лишь некую определенную возможность. Это похоже на то, как если бы я сказал кому-то: «Прекрати игру; этими фигурами ты не можешь поставить мат» — и проглядел существующую возможность мата. Различные, полушутливые обличья логического парадокса интересны лишь постольку, поскольку напоминают о том, что для понимания подлинной функции парадокса необходимо его серьезное

оформление. Спрашивается: какую роль может играть в той или иной языковой игре подобная логическая ошибка? Например, кого-то инструктируют, как он должен действовать в том или ином случае; а впоследствии эти указания оказываются бессмысленными.

23. Логический вывод — это часть языковой игры. И тот, кто делает логические заключения в языковой игре, следует определенным инструкциям, которые были заданы при изучении самой языковой игры. Если, например, подмастерье строит дом, руководствуясь данными ему указаниями, то ему приходится время от времени прерывать доставку стройматериалов и т. д. и выполнять определенные операции со знаками на бумаге; после чего он, соответственно результату, снова берется за строительную работу. Представь себе процесс, по ходу которого тот, кто толкает тележку, приходит к выводу, что он должен очистить ось колеса, поскольку толкать тележку стало слишком тяжело. Я имею в виду не то, что он говорит себе: «Всегда, когда слишком тяжело толкать тележку ...» — а то, что он просто действует так. И случается, что он кому-то крикнет: «Тележка не идет; очисти

ось!» или же: «Тележка не идет. Значит, надо очистить ось».

Это ведь и есть некий вывод. Правда, не логический. А нельзя ли сказать: «Не-логическое заключение может оказаться ложным; а логическое — нет»?

Является ли логическое заключение верным, если оно сделано в соответствии с правилами или если оно сделано в соответствии с правильными правилами? Если бы, например, говорилось, что из ~р всегда должно следовать р, — разве это было бы неверно? А почему бы не предпочесть этому другое утверждение: такое правило придало бы знакам „~р" и „р" необычное для них значение? Я хочу сказать: можно понимать это так, что правила вывода придают знакам их значение, потому что они являются правилами использования этих знаков. Потому что правила вывода при- частны к определению значения знаков. В этом смысле такие правила не могут быть верными или неверными.

Некто А в процессе строительства измерил длину и ширину какого-то участка и отдает В приказ: «Принеси 15 х 18 плит». В приучен умножать и в соответствии с результатами отсчитывать то или иное число плит.

Конечно же, произносить предложение «15 х 18 = 270» при этом никогда не требуется.

Можно сказать: эксперимент — вычисление служат полюсами, между которыми движутся человеческие действия. 24.

Мы тренируем человека таким-то образом, затем ставим перед ним вопрос и в ответ получаем числовой знак. Этот знак мы затем используем в своих целях, и он оказывается практичным. Это и есть вычисление? — Пока еще нет! Это могло бы быть весьма целесообразным процессом, — однако не быть тем, что мы называем вычислением. Так, можно было бы представить себе, что для целей, которым служит сегодня наш язык, издавались бы звуки, не образующие, однако, никакого языка.

Для вычисления характерно то, что все, вычисляющие правильно, получают одну и ту же картину вычисления. И «производить вычисления правильно» означает не: в здравом уме или без помех, — но: производить вычисления таким образом. Каждое математическое доказательство дает новую опору математическому зданию. (Я думал об опорах стола.) 25.

Я задался вопросом: разве математика, имей она чисто фантастическое применение, не являлась бы все же математикой? — Но спрашивается: не называем ли мы это математикой лишь потому, что видим здесь переходы, мостики от фантастического применения к нефантастическому? То есть можно ли сказать, что люди, использующие вычисления, оперирующие знаками только в оккультных целях, владеют математикой? 26.

А в таком случае разве не правильно все-таки сказать: в математике существенно то, что она образует понятия? — Ведь математика — это в конце концов антропологический феномен. Значит, можно признать это главным для большей части математики (для того, что называется «математикой») и вместе с тем сказать, что это не играет никакой роли в других областях. Само по себе данное усмотрение, конечно, не окажет какого-то влияния на тех, кто учится теперь смотреть на математику таким образом. Ведь математика — это некое семейство; но это не говорит о том, что нам безразлично, что бы в него ни включалось.

Можно сказать: если бы ты не разбирался в каком-нибудь математическом предложении лучше, чем ты понимаешь аксиому умножения, то ты бы не понимал математики. 27. — Здесь есть противоречие. Но мы его не видим и делаем из него выводы. Например, выводим математические предложения, в том числе ложные. Но мы признаем эти выводы. — Если же построенный по нашим расчетам мост разваливается, то мы нахо- дим для этого другую причину или говорим, что это было угодно Богу. Было ли тут наше вычисление ложным или оно вообще не было вычислением?

Конечно, если мы в научной экспедиции наблюдаем людей, действующих таким образом, то, пожалуй, можем сказать: эти люди вообще не производят вычислений. Или: в их вычислениях есть элемент произвола, который отличает суть их математики от сути нашей. И все же мы не сможем отрицать, что у этих людей есть своего рода математика.

Какие правила должен установить король % чтобы впредь избежать той неприятной ситуации, которую создал для него его пленник? —- Какого типа эта проблема? — Она ведь подобна следующей: как нужно изменить правила этой игры, чтобы та или иная ситуация не могла сложиться? А это математическая задача. Но может ли это быть математической задачей — сделать математику математдкой?

Можно ли сказать: «Люди стали по-настоящему считать только после того, как была решена эта математическая задача,»? 28.

Разве это надежность, если она основана на том, что наши банки действительно в общем и целом не подвергаются набегу всех своих клиентов сразу; хотя случись это, они бы обанкротились?! Что ж, это иной тип надежности, чем более примитивная надежность; но все-таки это некая надежность.

Я полагаю, будь в арифметике действительно найдено противоречие, это доказывало бы лишь, что арифметика с таким противоречием может вполне успешно справляться со своими задачами; и было бы предпочтительнее видоизменить наше понятие требуемой надежности, чем утверждать, что это еще не было бы по сути подлинной арифметикой.—«Но ведь это же не идеальная надежность!» — Идеальная для какой цели?

Правила логического вывода — это правила языковой игры. 29.

Какого рода вот это предложение: «Класс львов — это ведь не лев, а класс классов — это класс»? Как оно верифицируется? Как можно его использовать? Насколько я вижу, его можно использовать только как грамматическое предложение. Чтобы обратить чье-либо внимание на то, что слово «лев» употребляется принципиально иначе, чем имя льва; а вот родовое слово «класс» употребляется подобно обозначению одного из классов, например класса львов.

Даже признав, например, РАССЕловекую теорию типов, все же можно сказать, что слово «класс» употребляется рефлексивно. Ибо оно ведь и в ней употребляется рефлексивно. Конечно, утверждать в этом смысле, что класс львов не есть лев и т. д., равносильно утверждению, будто кто-то, сочтя е за а, принял белку за балку.

Внезапная смена восприятия схемы куба и невозможность узреть «льва» и «класс» в качестве сопоставимых понятий. Противоречие гласит: «Прими во внимание...» А что, если какому-то определенному льву (например, царю львов) дать имя Лев? Тут ты скажешь: ведь очевидно, что в предложении «Лев — это лев» слово «лев» употребляется двумя разными способами. (Логико-философский трактат.) А нельзя ли причислить их к одному типу употребления?

А что, если бы предложение «Лев — это лев» употреблялось таким образом, что привлекало бы внимание к различию в использовании обоих «львов», и'ни к чему больше?

Можно исследовать какого-то зверя с целью понять, не является ли он кошкой. Но понятие «кошка» так, во всяком случае, исследовать нельзя.

«Класс львов — это не лев» кажется бессмыслицей, в которой лишь из вежливости можно усмотреть какой-то смысл: я же хочу истолковать это предложение иначе — как настоящее предложение, если только оно правильно понято. (То есть не так, как в Логико-философском трактате.) Стало быть, моя концепция здесь иная. А это значит, что я говорю: существует языковая игра и с этим предложением. «Класс кошек — это не кошка». — Откуда ты это знаешь? В басне о зверях говорится: «Лев пошел гулять с лисом», не некий лев с неким лисом; и не лев такой-то с лисом таким-то. И здесь действительно получается так, будто род «лев» рассматривается как какой-то один лев. (Но это не то, о чем говорит Лессинг, когда место какого-то льва занимает вполне конкретный лев. «Барсук-Гримбарт не означает барсук по фамилии Гримбарт» *. Вообрази себе язык, в котором класс львов называют «львом всех львов», класс деревьев — «деревом всех деревьев» и т. д. — Потому что тут как бы представляется, что все львы образуют одного большого льва. (Мы говорим: «Бог создал человека».) Тогда можно было бы установить парадокс о том, что не сущест- вует определенного множества всех ЛЬВОВ. И т. д.

Но разве нельзя было бы считать и производить вычисления на

таком языке? 30.

Можно задаться вопросом: какую роль способно играть в человеческой жизни предложение типа «Я всегда лгу»? И тут вообразимы самые разнообразные варианты. 31.

Является ли пересчет длины из дюймов в сантиметры логическим заключением? «Цилиндр имеет длину 2 дюйма. — Значит, его длина примерно 5 см». Является ли это логическим заключением?

Да, но разве правило не нечто произвольное? Не что-то такое, что устанавливают? А можно установить, что умножение 18 х 15 не должно давать 270? — Почему бы и нет? — Но тогда оно происходило бы не по тем правилам, что были установлены вначале и употреблять которые привычно?

Является ли то, что следует из правила, в свою очередь правилом? А если нет, то предложением какого типа его следует назвать? «Для людей... невозможно признать какой-то предмет отличным от самого себя». Ну, уж имей я хоть какое-то понятие о том, как это делается, я бы тотчас же попытался! — Но если для нас невозможно признать, что предмет отличен от самого себя, то вполне ли возможно признать, что два предмета отличны друг от друга? Например, передо мной два кресла, и я признаю, что их два. Но при некоторых условиях я все же могу поверить, что это только одно кресло; и в этом смысле я могу считать одно двумя. — Но тем самым я ведь не признаю кресло отличным от самого себя! Пусть так, но тогда я не признаю и отличия двух кресел друг от друга. Тот, кто полагает, что мог бы это сделать, играет в своего рода психологическую игру, переводит ее в игру жестов. Имея перед собой два предмета, он левой рукой указывает на один из них, а правой — на другой, как бы желая подчеркнуть, что они автономны. Будь же перед ним только один предмет, он указывал бы на него обеими руками, как бы подчеркивая, что нельзя делать никакого различия между ним и ним самим. — Ну, а почему бы не поиграть теперь в эту игру обратным способом? 32.

Слова «верно» и «неверно» употребляют при обучении тому, как действовать по правилу. Словом «верно» побуждают ученика продолжать действие, словом «неверно» удерживают его. Ну, а можно ли объяснить эти слова ученику, предписав: «Это соответствует правилу, то — нет»? Вполне можно, если только он имеет понятие о соответствии. А что, если это понятие еще лишь долж- но быть сформировано? (Все зависит от того, как он реагирует на слово «соответствует».)

Мы учимся следовать правилу, предварительно не обучаясь употреблению слова «соответствие».

Скорее, мы усваиваем значение слова «соответствие», учась следовать правилу.

Тот, кто хочет понять, что значит «следовать правилу», уже сам должен уметь следовать правилу.

«Если ты принимаешь это правило, то должен делать это». — Это может означать: правило не предоставляет здесь тебе двух открытых путей. (Математическое предложение.) Я же имею в виду: правило ведет тебя, как коридор с твердыми стенами. Но ведь против этого можно возразить, что правило поддается толкованию всеми возможными способами. — Правило устанавливается здесь как приказ; и действует оно тоже как приказ. 33. Языковая игра: принести что-нибудь другое; принести то же самое. Ну, и можно представить себе, как в нее играют. — Но как объяснить ее кому-то? Можно обучить его этому. А откуда он знает, что нужно приносить в следующий раз в качестве «того же самого», — что позволяет мне сказать, принес ли он то, что нужно, или нет? — И я прекрасно знаю, конечно, что в ряде случаев люди явно выразили бы мне свое несогласие. И все же предполагает ли это, что «то же самое» определялось бы примерно так: то же самое — это то, что все люди или большинство из них согласованно считают таковым? — Конечно же, нет. Ведь для констатации тождества я же не использую согласие людей. А тогда какой критерий ты применяешь? Вообще никакого. Употреблять слово без обоснования не значит употреблять его неправильно.

Проблема предыдущей языковой игры существует, конечно, и здесь: принеси мне что-нибудь красное. Ибо откуда я узнаю, что это что-то красного цвета? Благодаря совпадению цвета с неким образцом? — По какому праву я говорю: «Да, это красное»? Ну я так говорю; и это не обосновывается. Причем для этой языковой игры, так же как и для предыдущей, характерно то, что она совершается при бесспорном согласии всех людей. Неразрешимое предложение математики — это нечто, что не признано ни как правило, ни как противоположность правилу; оно имеет форму математического высказывания. — Но является

ли эта форма четко описанным понятием? lim

Представь себе п _>О0фп = е как свойство музыкального фрагмента

(например). Но конечно же, не так, будто фрагмент длится бесконечно, а как свойство фрагмента, распознаваемое на слух (как бы алгебраическое свойство).

Представь себе уравнения, используемые в качестве орнаментов (узор обоев), а затем проверку этих орнаментов на то, какого рода кривым они соответствуют. Эта проверка походила бы на выявление контрапункта в музыкальном отрывке. 34.

Доказательство, которое показывает, что сочетание „777" появляется в разложении я, но не показывает где. Что ж, доказанное таким образом это «предложение существования» не было бы правилом для определенных целей. Но разве оно не могло бы служить, например, средством классификации правил разложения? Аналогичным образом было бы доказано, например, что „777" не появляется в я2, но появляется в ях е и т. д. Вопрос состоял бы лишь в том: разумно ли говорить о соответствующем доказательстве, что оно доказывает существование „777" в этом разложении? Это может запросто сбить с толку. В этом-то и состоит проклятие прозы, и особенно РАССЕЛОВСКОЙ прозы, в математике. Что за беда, например, сказать, что Бог знает все иррациональные числа? Или: что они все уже наличествуют, хотя нам и известны лишь некоторые из них? Почему эти картины небезвредны? Прежде всего, они скрывают определенные проблемы. Предположим, люди рассчитывают разложение я все дальше и дальше. Так что лишь всеведующий Бог знает, придут ли они до конца света к сочетанию «777». Но может ли его всеведение решить, было ли бы достигнуто такое сочетание после конца света? Этого оно не может. Я бы сказал: и Бог может решать математические вопросы только с помощью математики. И для него простое правило разложения не может решить ничего из того, что оно не решает для нас.

Это можно выразить так: при заданном правиле разложения некое вычисление может показать нам, что на пятом месте стоит цифра «2». В состоянии ли Бог знать это без вычисления, просто исходя из правил разложения? Я склонен сказать: нет. 35.

Если я говорю, что предложения математики образуют понятия, то это как-то туманно; ибо „2 + 2 = 4" образует понятие в ином смысле, чем „р Z) р", „(Х) • fx fa" или теорема ДЕДЕКИН

да. Существует именно семейство случаев.

Понятие правила образования бесконечной десятичной дроби не является, конечно, специфически математическим понятием. Это — понятие, связанное со строго определенной деятельностью в человеческой жизни. Понятие такого правила является математическим не в большей мере, чем понятие следования правилу. Или же: это последнее определено не менее точно, чем понятие самого такого правила. — Да, выражение правила и его смысл — это только часть языковой игры: следования правилу. С тем же правом можно вообще говорить о таких правилах как о деятельности следования им.

Конечно, о правиле, например, говорят: «Все это уже заложено в нашем понятии», — но ведь это означает: мы склонны к этим определениям понятий. Ибо что же есть у нас в голове такого, что уже содержит все эти определения?!

Число, как говорит ФРЕГЕ, есть свойство понятия, но в математике оно есть признак математического понятия. Х0 — это признак понятия кардинального числа и свойство некоей техники. — это признак понятия бесконечной десятичной дроби, но свойством чего является это число? То есть: о понятии какого типа его можно эмпирически высказать?

36. Доказательство предложения надоумливает меня, какую сделать ставку на его истинность. И различные доказательства вполне могут подсказать мне то же самое.

Нечто поразительное, некий парадокс в особом, как бы искаженном окружении. Надо дополнить его окружение таким образом, чтобы то, что выглядело парадоксом, больше не казалось таковым. Доказав, что 18 х 15 = 270, я тем самым доказал и геометрическое предложение о том, что, применяя к знаку „18 х 15" определенные правила преобразования, мы получим знак 270. — Теперь предположим, что люди, у которых под действием какого-нибудь яда нарушена четкость зрения или правильность запоминания (как мы склонны теперь выражаться), получали бы при этом вычислении не 270. — Разве вычисление не бесполезно, если по нему нельзя правильно предсказать, что получается в итоге при обычных обстоятельствах? Что ж, если даже оно бесполезно, это не означает, что предложение „18 х 15 = 270" является эмпири- ческим: люди вообще так считают.

С другой стороны, не столь уж ясно, что характерным признаком всего, что мы называем «вычислением», является всеобщее согласие тех, кто вычисляет. Можно вообразить, будто люди, научившиеся вычислять при определенных условиях, например под влиянием опиума, начинают производить вычисления каждый на свой манер и находят применение этим вычислениям; и при этом не говорится, что они вовсе не вычисляют и неспособны вычислять, наоборот, их вычисления признают правомерными. Но разве они не должны быть по крайней мере приучены выполнять одинаковые вычисления? Я полагаю, что и тут можно представить себе отклонения. 37.

Можно ли сказать, что математика учит экспериментальному способу исследования, экспериментальной постановке вопросов? А разве нельзя сказать, что она учит меня, например, спрашивать, движется ли определенное тело в соответствии с уравнением некой параболы? — Но что в этом случае делает математика? Без нее или без математиков мы бы, конечно, не пришли к определению этой кривой. Но было ли определение этой кривой уже математикой? Математикой ли обусловлено, например, то, что люди при исследовании движения тела пытаются уяснить, пред ставима ли его траектория с помощью эллиптической конструкции из нити и двух гвоздей? Математикой ли занимался тот, кто придумал этот тип исследования?

Ведь он создал новое понятие. Но было ли это сделано таким же образом, как это делает математика? Подобно тому как дает нам некое новое понятие умножение 18 х 15 = 270? 38.

Выходит, нельзя сказать, что математика учит нас считать? Но если она учит нас считать, так почему бы ей не учить нас также сравнивать друг с другом цвета?

Ясно: тот, кто учит нас уравнению эллипса, обучает нас новому понятию. Но тот, кто доказывает, что этот эллипс и эта прямая пересекаются в этих точках, — также дает нам какое-то новое понятие.

Обучение уравнению эллипса подобно обучению счету. Вместе с тем оно подобно освоению вопроса: «Имеется ли здесь в сто раз больше шаров, чем там?»

Что ж, обучи я кого-то в ходе языковой игры этому вопросу и методу ответа на него, значит, я обучил бы его математике? Или это произошло бы лишь в том случае, если бы он оперировал знаками?

(Напоминало ли бы это вопрос: «Было ли бы геометрией то, что состояло бы только из аксиом Евклида?»)

Если арифметика учит нас вопросу «Сколь много?», то почему бы ей не учить нас и вопросу «Сколь темно?»?

Но вопрос «Имеется ли здесь в сто раз больше шаров, чем там?» — это ведь не математический вопрос. И ответ на него — не математическое предложение. Математическим вопросом было бы: «Верно ли, что 170 шаров в сто раз больше, чем 3 шара?» (И притом это вопрос чистой, а не прикладной математики.) В таком случае следует ли сказать, что тот, кто учит нас считать вещи и пр., дает нам новые понятия, а также тот, кто учит нас чистой математике такими понятиями?

Является ли то или иное новое сочетание понятий неким новым понятием? И создает ли математика концептуальные связи? Слово «понятие» очень и очень расплывчато.

Математика учит нас по-новому оперировать понятиями. И потому можно сказать, что она изменяет нашу понятийную деятельность.

Но совершает это лишь такое математическое предложение, которое принято как постулат либо же доказано, а вовсе не проблематичное предложение.

39. А разве нельзя экспериментировать математически? Например, попробовать, можно ли сложить голову кошки из квадратного листа бумаги; при этом нас не будут интересовать физические свойства бумаги, ее прочность, эластичность и т. д. Но ведь речь идет только об опыте. А почему не об экспериментировании? Ведь этот случай подобен тому, когда опытным путем подставляют пары чисел в уравнении х2 + у2 = 25, чтобы найти некую пару, удовлетворяющую уравнению. И если в конце концов мы прирем к 32 + 42 = 25, то будет ли это предложение результатом эксперимента? Почему же тогда мы называли эту процедуру опытом? Дали бы мы ей то же название и в том случае, если бы некто всегда решал такие проблемы с первого раза с полной уверенностью (со всеми признаками уверенности), но без вычисления? В чем состояло бы здесь экспериментирование? Предположим, что, прежде чем он дает решение, оно является ему как видение. — 40. Сложение форм, в котором сливаются некоторые элементы, играет в нашей жизни очень небольшую роль. — Как в случае, когда > : дают фигуру

Но будь это важной операцией, наше привычное понятие об арифметическом сложении, пожалуй, было бы иным. То, что из квадратного листа бумаги (по известным правилам) можно сложить лодку, шляпу и т. д., мы должны, конечно, считать делом геометрии, а не физики. Но разве геометрия, понимаемая таким образом, не является частью физики? Нет; мы отделяем геометрию от физики. Геометрическую возможность от физической. А что, если оставить их вместе? Просто сказать: «Если ты сделаешь с листом бумаги вот это и это, то получится это»? То, что надо делать, может быть задано в рифму. И разве не может быть, чтобы кто-то совсем не различал двух этих возможностей? Подобно ребенку, еще не освоившему этой техники. Он не знает и не задумывается о том, возможны ли такие бумажные фигуры лишь потому, что бумага при этом тянется так и этак, искривляется, или же потому, что она не меняет своей формы. А разве не так же обстоит дело и в арифметике? Почему бы людям не учиться вычислению без каких-либо понятий о математическом и физическом фактах? Они знают лишь, что это всегда получится, будь они внимательны и делай то, чему их научили. Представим себе: пока мы вычисляем, цифры на бумаге внезапно изменяются. Единица становится вдруг 6, а потом 5, потом снова 1 и т. д. Хотелось бы предположить, что это ничего не меняет в вычислении, ибо как только я считываю цифру, чтобы вычислять с ее помощью или применить ее, она снова становится той, с какой мы имели дело в ходе наших вычислений. Тем не менее мы бы при этом прекрасно видели, как изменяются цифры в ходе вычислений, но были бы приучены к тому, чтобы не волноваться по этому поводу.

Но и в отсутствие вышеописанного допущения эти вычисления, конечно, могли бы приводить к вполне пригодным результатам. Вычисление выполняется здесь строго по правилам, и все же этот результат не должен получаться. — Я допускаю, что мы не усматриваем какой-либо закономерности в смене цифр. Хочу сказать: можно было бы толковать этот процесс вычислений действительно как экспериментирование и, например, сопровождать его словами: «Попробуем теперь, что получится, если применить это правило».

Или же: «Поставим такой эксперимент: запишем цифры с помощью чернил этого состава...и выполним вычисления по правилу...» Ты мог бы, конечно, сказать: «В этом случае манипулирование цифрами по правилам не есть вычисление».

«Мы вычисляем только тогда, когда за результатом стоит «долженствование»». — А когда мы не знаем об зтом долженствовании, то оно все равно заложено в вычислении? Или мы не вычисляем, если делаем это с полной наивностью?

А как же быть с такой ситуацией: не занят вычислением тот, кто, получая то один, то другой результат и будучи не в состоянии найти ошибку, примиряется с этим и говорит: это как раз и свидетельствует о влиянии на результат определенных обстоятельств, которые пока неизвестны?

Это можно выразить таким образом: тот, кому вычисление открывает причинную взаимосвязь, не вычисляет.

Детей упражняют не только в самих вычислениях, но и в совершенно определенном отношении к ошибке в ходе вычислений. Сказанное сводится к тому, что математика нормативна. Но «норма» не равнозначна «идеалу». 41.

Введение нового правила вывода можно считать переходом к новой языковой игре. Я представляю себе такую игру, в которой, например, один участник произносит „рз(/", другой— „р", а третий делает вывод. 42.

Возможно ли, узрев, что плоскость окрашена в красный и синий цвета, не заметить, что она красная? Представь себе, что для вещей, полукрасных-полусиних, используется особое прилагательное: мы говорим, что они «буные». Разве не мог бы кто-то натренироваться замечать вещь буного цвета и вместе с тем не заме- чать, является ли она также красной? Этот человек умел бы сообщать только: «буное» или «небуное». А мы могли бы из первого сообщения делать заключение, что вещь частично красная. Я представляюсебе, будто рассмотрение цвета осуществляется с помощью некоего психологического сита, которое позволяет усмотреть лишь то, что плоскость сине-бело-красная (французское трехцветие ) или же что она не такова.

Ну, а если усмотрение того, что поверхность частично красная, — это особого рода наблюдение, то как оно может логически следовать из предыдущего? Ведь логика не может сказать нам, что мы должны узреть.

Кто-то считает яблоки в ящике; он считает до 100. Кто-то другой говорит: «Ну уж пятьдесят-то яблок, во всяком случае, в корзине есть» (это все, что его интересует). Это ведь своего рода логическое заключение; но разве это также и не особый опыт? 43. Плоскость, разделенную на ряд полос, рассматривают несколько людей. Каждую минуту все цвета полос одновременно изменяются.

[

Сейчас цвета таковы: красный, зеленый, синий, белый, черный, синий.

Воспринимаются: красный • синий • => черный : ID • белый. Воспринимаются также:

~ зеленый з -белый,

и кто-то делает заключение:

- зеленый з : красный • синий • -черный.

А такие импликации суть «material implications» в РАССЕЛОВСКОМ смысле.

Но можно ли зрительно воспринять, что

к • с • ZD ч : ID • б?

Не воспринимается ли сочетание цветов, то есть, например, к • с • • ч • б, и не из этого ли выводится такое предложение?

Но разве невозможно, вглядываясь в плоскость, целиком сосредоточиться на том, окрасится ли она в зеленый цвет или не в зеленый; и следует ли тогда, видя ~з, обращать внимание на особый цвет плоскости?

А разве кто-то не может быть целиком поглощен конфигурацией к • с • =э ч : з • б? Если он, например, приучен рассматривать плоскость только с этой точки зрения, забывая все остальное. (При особых обстоятельствах людям могло бы быть безразлично, красные ли предметы или зеленые; но было бы важно, окрашены ли они в один из этих цветов или в какой-нибудь третий. И в этом случае могло бы существовать какое-то цветовое слово для «красного или зеленого».) Однако если можно углядеть, что

к • С ' D Ч : "D • б?

и

- 3 =3 - б,

то можно также узреть, а не просто логически заключить, что

~ з =э : к с • ~ ч.

Если это три зрительных восприятия, то должно быть также возможно, чтобы третье восприятие не совпадало с логическим выводом из первых двух.

Итак, можно ли тогда представить себе, чтобы кто-то, рассматривая какую-то плоскость, видел сочетание красно-черного (например, как флаг), настраиваясь же на видение одной из двух половин, видел бы вместо красного синий? Что ж, ты это только что описал. — Это примерно так же, как если бы кто-то, глядя на группу яблок, воспринимал ее все время как две группы по два яблока в каждой, но как только он пытался бы охватить их в целом одним взглядом, ему казалось бы, что их 5. Это было бы очень странным феноменом, притом не из числа тех, на возможность которых мы обращаем внимание.

Вспомни о том, что ромб, воспринимаемый как бубновая масть, выглядит не как параллелограмм. Однако не потому, что его противоположные стороны кажутся не параллельными, а потому, что мы не замечаем параллельности.

44. Я мог бы представить себе, что кто-то говорит, будто он видит красно-желтую звезду, но не видит ничего желтого, потому что он видит звезду как сочетание цветовых частей, разделить которые он не в состоянии.

Например, перед ним фигуры типа

На вопрос, видит ли он красный пятиугольник, он ответил бы «да»; на вопрос, видит ли он желтый пятиугольник, — «нет». Таким же образом он говорит, что видит синий, а не красный треугольник. — Если обратить на это его внимание, он заявит примерно следующее: «Да, теперь я вижу это; я не рассматривал звезды таким образом».

И с ним могло бы также случиться, что он не в состоянии был бы отделить друг от друга цвета в звезде, так как не мог бы отделить друг от друга формы.

Не может научиться обозревать географию некоего пейзажа тот, кто продвигается в нем так медленно, что забывает один участок, подходя к другому.

45. Почему я все время веду речь о принудительности правила; почему не о том, что я могу хотеть следовать правилу? Это ведь столь же важно.

Но я хочу сказать не о том, что правило вынуждает меня действовать таким образом, а о том, что оно дает мне возможность придерживаться его и позволять ему принуждать меня. И тот, кто, например, играет в некую игру, придерживается ее правил. Причем интересно то, что люди для собственного удовольствия устанавливают правила и затем придерживаются их. Мой вопрос заключался, собственно, в следующем: «Как может человек придерживаться некоего правила?» И образ, который мог бы здесь всплыть, — это образ короткого участка перил, с помощью которого он должен продвинуться дальше, чем хватает перил. [Но ведь то, что там есть, — ничто; однако то, что там есть, — все же не ничто]] Ибо если я спрашиваю: «Как может человек ...?» — то это означает, что что-то кажется мне здесь парадоксальным; стало быть, меня запутывает какой-то образ.

«Я совсем не думал о том, что эта вещь также и красная; я видел ее только как часть многоцветного орнамента». Логическое заключение — это переход, который оправдан в том случае, если он следует определенной парадигме, и законность которого не зависит больше ни от чего другого. 46.

Мы говорим: «Если, умножая, ты действительно следуешь данному правилу, то должно получиться то же самое». Если же это лишь несколько истеричный способ выражения, характерный для университетского языка, то нам не следует слишком уж этим интересоваться.

Но это выражает повсеместно наблюдаемое в нашей жизни отношение к технике вычислений. Акцент же на долженствовании соответствует лишь непреклонности такого отношения к этой технике вычисления и к бесчисленным родственным ей техникам. Математическая необходимость — это только иное выражение того, что математика формирует понятия.

А понятия служат для понимания. Они соответствуют определенному способу действий с ситуациями (Sachlagen). Математика образует сеть норм. 47.

Возможно видеть комплекс, образованный из А и Б, не видя А или Б. Можно также называть этот комплекс «комплекс из А и В» и думать, что это название указывает на некое родство этого целого с А и В. Так, возможно сказать, что видишь комплекс, образованный из А и Б, не видя ни А, ни В. Например, так, что можно было бы сказать: здесь есть красновато-желтый цвет, но нет ни красного, ни желтого. Ну, а могу ли я иметь перед собой А и Б и видеть их обоих, но зрительно воспринимать только A v В? Что ж, в известном смысле это все же возможно. И притом я представил бы себе это так, что воспринимающий поглощен определенным аспектом; что он, например, имеет определенного типа парадигму; что он привержен определенному навыку применения. — И так же, как он может быть ориентирован на A v В, он может быть ориентирован и на А • В. То есть он замечает только А - В и не замечает, например, А. Быть ориентированным на A v В означает, так сказать, реагировать на вот такую ситуацию понятием „А v В". И точно так же можно, конечно, обращаться и с А • В. Скажем, кого-то интересует только А • Б, и, что бы ни происходило, он формулирует только суждения «А • В» или «~(А • Б)», и я могу себе представить, что он вынесет суждение «А • В>> и на вопрос: «Видишь ли ты В1>> — скажет: «Нет, я вижу А • В>>. Примерно так же, как тот, кто видит А В, не согласится с тем, что он видит A v В. 48.

Но «видение» плоскости «целиком красной» или «целиком синей»— это ведь «настоящий» опыт, и все же мы говорим, что нельзя иметь одновременно оба эти опыта.

А если бы человек уверял нас, что видит эту плоскость действительно целиком красной и целиком синей одновременно? Мы должны были бы сказать: «Ты сообщаешь нам нечто непонятное». Предположение «1 фут = ... см» для нас вневременно. Но можно было бы представить себе такой случай, в котором мера фута и мера метра постепенно как-то изменялись бы, и тогда для пересчета одной в другую их пришлось бы все время сравнивать. А разве соотношение длин метра и фута у нас не определено экспериментально? Определено; но результат получил статус правила. 49.

В какой мере можно утверждать, что предложение арифмети- кидает нам некое понятие? Что ж, давайте будем интерпретировать его не как предложение, не как решение ого или иного вопроса, а как некую — каким-то образом принятую — связь понятий. 252 и 625, соединенные знаком равенства, дают мне, можно сказать, новое понятие. И доказательство показывает, что такая связь получается благодаря этому равенству. — «Давать какое-то новое понятие» может лишь означаь: вводить новое использование понятия, некую новую практику.

«Как можно отторгнуть предложение от его доказательства?» Этот вопрос свидетельствует, конечно, о неправильном понимании. Доказательство — это окружение предложения. «Понятие» — это расплывчатое понятие. 50.

Не в каждой языковой игре присутствует что-то, что мы назвали бы понятием.

Понятие — это что-то, подобное изображению, с которым сравнивают предметы.

Разве есть понятия в языковой игре (2) *? Но ее нетрудно расширить таким образом, чтобы «плита», «куб» и т. д. стали понятиями. Например, с помощью какой-то техники описания или изображения таких предметов. Конечно, нет никакой резкой границы между языковыми играми, работающими с понятиями, и прочими языковыми играми. Важно, что слово «понятие» относится к некоему типу вспомогательного средства в механизме языковых игр.

51. Рассмотрим какой-либо механизм. Например, этот:

В то время как точка А описывает круг, В описывает фигуру восьмерки. И мы запишем это как предложение кинематики. Когда я привожу механизм в действие, его движение доказывает мне данное предложение; так же как. это делал бы чертеж на бумаге. Данное предложение примерно соответствует изображению механизма, с нарисованными траекториями точек А и В. То есть в известном отношении оно представляет собой изображение этого движения. Оно фиксирует то, в чем убеждает меня доказательство. Или — в чем оно меня уговаривает.

Если доказательство регистрирует ход процесса согласно определенному правилу, то тем самым оно порождает какое-то новое понятие. Порождая новое понятие, оно убеждает меня в чем-то. Ибо для этого убеждения существенно, что протекание процесса по этим правилам всегда должно порождать одну и ту же конфигурацию. («Одну и ту же» соответственно нашим обычным;правилам сравнения и копирования.)

Отсюда возможно утверждать, что доказательство должно демонстрировать наличие внутреннего отношения. Ибо внутреннее отношение — это операция, порождающая одну структуру из другой, понимаемая как эквивалент изображения самого этого перехода, так что теперь переход, соответствующий этому ряду изображений, ео ipso представляет собой переход, соответствующий таким правилам операции.

<< | >>
Источник: Витгенштейн Л.. Философские работы. Часть II. Пер. с нем. / Вступ, статья М. С. Козловой. Перевод М. С. Козловой и Ю. А. Асеева. М.: Издательство «Гнозис».. 1994

Еще по теме IV 1942-1943 1.:

  1. Великолукская операция (25.11.1942 г. - 20.01.1943 г.)
  2. ГЛАВА XXXVI. Тайная дипломатия Афганистана и «пуштунская проблема» в 1942 -1943 гг.
  3. ГЛАВА XXXV. Деятельность спецслужб стран «оси» в Афганистане и воне пуштунских пленен в 1942 -1943 гг.
  4. Ill 1942 1.
  5. M. Вертгеймер (1880-1943)
  6. Часть II КОГДА БОГИ НАСТУПАЮТ (осенне-зимняя кампания 1942 г.)
  7. § 3. Военно-политические события второй мировой войны в 1941 - 1942 г.
  8. § 6. Военно-политические события второй мировой войны в 1943 г.
  9. Часть I ХУК ПРАВОЙ (Летне-осенняя кампания 1942 г.)
  10. 9. Сражения на Востоке зимой 1943/44 г.