<<
>>

Ill 1942 1.

«Аксиомы в математической системе аксиом должны быть самоочевидны». Как же это получается?

Как в тех случаях, когда я говорю: вот так я могу это представить себе легче всего.

Причем слова «представить себе» означают здесь не особый душевный процесс, при котором обычно закрывают или прикрывают руками глаза. 2.

Что говорят, когда предлагается, например, такая аксиома, как аксиома о параллельных прямых? Опыт ли показал нам, что они ведут себя таким образом? Что ж, возможно; но какой опыт? Я имею в виду: опыт, конечно, играет роль; но не ту, какой можно было бы непосредственно ожидать. Ведь мы же не устанавливали экспериментально, что действительно только одна прямая, проходящая через данную точку, не пересекает другую прямую. И все-таки предложение очевидно. — В связи с этим я бы сказал: совершенно безразлично почему оно очевидно. Достаточно того, что мы принимаем его. Важно только то, как мы его используем. Предложение описывает картину. В частности, такую:

Эта картина для нас приемлема. Так же как для нас приемлемо обозначать приблизительное значение некоего числа, округляя его до числа, кратного 10.

«Мы принимаем это предложение». Но в каком качестве мы его принимаем? 3. Я хочу сказать: если дана, например, формулировка аксиомы о параллельных прямых (и мы понимаем этот язык), то этим еще отнюдь не определен тип использования данного предложения и, соответственно, его смысл. А если мы говорим, что оно очевидно, это значит, что мы уже выбрали, неосознанно, определенный тип использования такого предложения. Предложение не является математической аксиомой, если мы его не используем именно для этого. Иными словами, то, что мы здесь не ставим экспериментов, а принимаем нечто как самоочевидное, уже задает определенное использование. Ибо мы ведь не столь наивны, чтобы принять очевидность за эксперимент.

Математическим предложением его делает не то, что нам очевидна его истинность, а то, что мы принимаем его за самоочевидное. 4.

Опыт ли учит нас тому, что между каждыми двумя точками можно провести прямую? Или же тому, что два разных цвета не могут быть на одном и том же месте?

Можно сказать: представление учит нас этому. И в этом заключена истина; нужно только правильно понять это. До формулировки предложения понятие еще податливо. А не может ли опыт заставить нас отказаться от аксиомы? Может. И тем не менее она не играет роль эмпирического предложения. Почему ньютоновские законы не являются аксиомами математики? Потому что совсем нетрудно представить себе, что все происходит иначе. Но — хочу сказать — это отводит таким предложениям просто определенную роль в противоположность другой. То есть сказать о предложении: «Это можно представить себе и иначе» или «Можно представить себе и нечто прямо противоположное этому» — значит отвести ему роль эмпирического предложения. Предложение, которое, как полагают, невозможно представить себе иначе, как истинным, имеет другую функцию, чем то, что проявляет себя иначе. 5.

Математические аксиомы функционируют таким образом, что, если опыт заставил бы нас отказаться от какой-либо аксиомы, от этого не стало бы аксиомой противоположное ей утверждение.

„2 х 2 Ф 5" не означает, что „2x2 = 5" оказалось непригодным.

Можно было бы предпосылать аксиомам, так сказать, специальный утвердительный знак. Нечто является аксиомой не благодаря тому, что признается в высшей степени вероятным, даже достоверным, а благодаря тому, что ему приписывается особая функция, притом такая, которая противостоит функции эмпирического предложения.

Мы оказываем аксиоме признание иного рода, чем эмпирическому предложению. И под этим я отнюдь не подразумеваю, что «душевный акт признания» здесь иной. Аксиома — это как бы другая часть речи. 6.

Слыша математическую аксиому, гласящую, что то-то возможно, мы безоговорочно принимаем как известное то, что означает здесь «быть возможным»; ведь это привычная для нас форма предложения.

Не осознается, сколь различным может быть использование высказывания «... это возможно!». И. поэтому не приходит в голову спрашивать об особом использовании его в этом случае. Без целостного, подробного обзора применений мы здесь никак не можем усомниться в том, что понимаем данное предложение. Относится ли предложение об отсутствии дальнодействия к разряду математических предложений? Здесь опять-таки я бы сказал: данное предложение предназначено не для выражения какого-то опыта, а для выражения того, что мы не можем представить себе что-то другое.

Сказать, что между двумя точками всегда возможна — с геометрической точки зрения — прямая, значит: предложение «Точки... лежат на одной прямой» является высказыванием о положении точек лишь в том случае, если повествует более чем о двух точках. Вот также не задаются и вопросом, что в конкретном случае означает предложение типа «Не существует...» (например, «Не существует доказательства этого предложения»). На вопрос о том, что оно означает, отвечают кому-то другому и самому себе примером несуществования. 7.

Математическое предложение стоит не на трех, а на четырех ногах; оно сверхопределенно. 8.

Описывая поступок какого-то человека, например, с помощью того илц иного правила, мы хотим, чтобы тот, кому адресовано это описднце, благодаря применению этого правила знал, что происходит в данном конкретном случае. Ну, а даю ли я ему в этом правиле косвенное описание?

Существует же предложение, гласящее: если умножить числа.!, по таким-то правилам, то получится...

Использование математического предложения само всегда должно быть вычислением. Это определяет отношение вычислительной деятельности к смыслу математических предложений. О равенстве и соответствии судят по результатам вычислений, вот почему нельзя объяснить вычисления с помощью соответствия. Описание осуществляется с помощью правила. Для чего? Почему? —- Это другой вопрос.

«Правило, примененное к этим числам, дает те числа» — это могло бы означать: выражение правила позволяет человеку получать из одних чисел другие.

Возникает совершенно верное ощущение, что это не было бы математическим предложением. Математическое предложение определяет некий путь; прокладывает для нас тот или иной путь. В том, что оно является правилом, однако не просто устанавливается, а выводится по правилам, нет противоречия. Используя правило для того или иного описания, и сам знаешь не больше, чем говоришь. То есть и не предвидишь использования этого правила в особом случае. Говоря «и т. д.», и сам знаешь не больше, чем «и т. д.». 9.

Как можно объяснить человеку, что нужно делать, когда предписано следовать некоему правилу?

Пытаются объяснить: прежде всего делай самое простое (если правило заключается, например, в том, чтобы все время повторять одно и то же). И в этом, конечно, кое-что есть. Имеет смысл утверждать, что проще записать ряд чисел, в котором каждое число равно предыдущему, чем ряд, в котором каждое число на 1 больше предыдущего, и далее, что это более простой закон, чем закон попеременного прибавления 1 и 2. 10.

Не слишком ли поспешно применять предложение, опробованное на палочках и бобах, к длинам световых волн? Я имею в виду, что 2 х 5000 = 10 000.

Неужели мы в самом деле рассчитываем, что нечто, доказавшее свою истинность в столь многих случаях, должно быть верным и для этих случаев? Разве это не свидетельствует в гораздо большей степени о том, что мы себя еще вовсе не связали арифметически предположением?

И. Арифметика — как натуральная история (минералогия) чисел. А кто о ней так говорит? Все наше мышление пронизано этой идеей.

Числа (я имею в виду не числовые знаки) суть формы (Gestalten), а арифметика говорит нам о свойствах этих форм. Трудность, однако, заключается в том, что свойства таких образов — не отраженные свойства такого рода вещей; они являют собой возможности. А эти возможности в свою очередь оказываются физическими или психическими возможностями (разложения, составления и т. д.). Формы же просто играют роль картин, используемых так или иначе. И мы даем не свойства форм, а их преобразования, конструируемые как своего рода парадигмы. 12.

Судим мы не о картинах, а с помощью картин. Мы исследуем не их, а с их помощью нечто другое.

Ты подводишь кого-то к решению принять эту картину. Ну, например, путем доказательства, то есть путем демонстрации ряда изображений или просто показывая ему изображение. Что склоняет его к данному решению, здесь безразлично. Главное заключается в том, что речь идет о принятии какой-то картины. Картина складывания не есть сложение; картина разложения — не деление; картина соответствия — не соответствие. И все же эти картины имеют огромное значение. Когда складывают, делят ит. д., это выглядит вот так. 13.

Что было бы, если бы звери, кристаллы имели столь же превосходные свойства, что и числа? Тогда существовал бы, например, ряд форм, одна из которых всегда была бы на единицу больше, чем другая.

Попытаюсь показать, как получается, что математика кажется нам то натуральной историей чисел, то собранием правил. А разве нельзя было бы изучать преобразования форм зверей (на- пример^? А как изучать? Я имею в виду вот что: разве не было бы полезно продемонстрировать самим себе преобразования форм зверей? И все же это не было бы разделом зоологии. — Математическим предложением было бы тогда (например) то, что это преобразование переводит эту форму в эту. (При том что формы и их преобразования узнаваемы.) 14.

Мы должны, однако, помнить о том, что математическое доказательство с помощью своих преобразований доказывает не только знаково-геометрические предложения, но и предложения самого различного содержания.

Так, преобразование любого РАССЕЛОВСКОГО доказательства доказывает вместе с тем, что это логическое предложение может быть образовано с помощью таких правил из основных законов. А само доказательство рассматривается как доказательство истинности вывода или же как доказательство того, что вывод ш/ о чем не говорит.

Это же возможно только через отношение предложения к чему-то вне его самого; то есть, скажем, через его отношение к другим предложениям, к их использованию.

«Тавтология («р v ~р», например) не говорит ни о чем» — это предложение, относящееся к языковой игре, где используется предложение р (например: «Идет дождь или не идет дождь» — это не сообщение о погоде).

РдссЕловская логика ничего не говорит о типах предложений и об их использовании. — Я имею в виду не логические предложения. — И все же логика обретает весь свой смысл лишь благодаря ее предполагаемому применению к предложениям. 15. Можно представить себе, что у людей есть прикладная математика без чистой математики. Они могут, допустим, рассчитать траекторию, которую описывают определенные движущиеся тела, и предсказать их местонахождение в заданное время. Для этого они используют систему координат, уравнения кривых (форму описания действительного движения) и технику вычислений в десятичной системе. Идея предложения чистой математики может быть им совершенно чужда.

Таким образом, у этих людей есть правила, по которым они преобразуют соответствующие знаки (в частности, например, числовые знаки) с целью предсказания определенных событий. А разве, например, умножая, они не придут к предложению, гласящему, что от перестановки множителей местами результат умножения не меняется? Это не будет первичным знаковым правилом, но также не будет и предложением об их физике. Ну, им не обязательно получать такое предложение — даже если они допускают перестановку множителей.

Мне представляется, что эта математика всецело используется в форме предписаний. «Ты должен делать то-то», — в частности, чтобы получить ответ на вопрос: «Где будет находиться это тело в то или иное время?» (То, как эти люди пришли к такому методу предсказания, совершенно безразлично.)

Центр тяжести математики лежит для этих людей целиком и полностью в действии. 16. Но возможно ли это? Возможно ли, чтобы они не провозглашали коммутативный закон (например) как предложение? Смею сказать: эти люди не обязательно придут к пониманию того, что они делают математические открытия^ — а не только физические.

Вопрос: должны ли они делать математические открытия как открытия? Что они потеряют, если не сделают таковых? Разве они не могли бы использовать (например) доказательство коммутативного закона, не понимая, что его финалом служит некое предложение, что оно, таким образом, имеет результат, так или иначе сравнимый с их физическими предложениями? 17.

Простое изображение

О О О . О О

о о о о о о о о о о

о о о о о

рассмотренное то как 4 ряда по 5 кружков, то как 5 колонок по 4 кружка, могло бы убедить кого-то в наличии коммутативного закона. И в итоге он мог бы выполнять умножения то в одном, то в другом направлении.

Взгляд на образец и фишки убеждают его, что он сможет выложить с их помощью фигуру, то есть что он затем осуществит такой расклад.

«Да, но лишь при условии, что фишки не изменятся». — Если они не изменятся и если мы не совершим какой-то непонятной ошибки или же если фишки невзначай не исчезнут и не прибавятся. «Но ведь существенно то, что фигуру действительно каждый раз можно выложить из фишек! А что, если ее нельзя было бы выложить?» — Вероятно, тогда мы полагали бы, что нам что-то мешает. Но что же дальше? — Пожалуй, мы приняли бы все так, как оно есть. И ФРЕГЕ МОГ бы тогда сказать: «Здесь мы столкнулись с новым типом безумия!» 18.

Ясно, что математика как техника преобразования знаков с целью предсказывания не имеет ничего общего с грамматикой. 19.

Предполагается, что люди, чья математика представляет собой лишь такую технику, должны также признавать доказательстве ва, убеждающие их в заменимости одной знаковой техники другой. То есть они находят преобразования, ряды изображений, в отношении которых могут решиться использовать вместо одной техники другую. 20.

Если вычисление кажется нам механическим действием, то машиной выступает человек, выполняющий вычисление. Вычисление было бы тогда как бы диаграммой, которая вычерчивается той или иной частью машины. 21.

И это подводит меня к тому, что изображение вполне может убедить нас в том, что в случае приведения механизма в действие определенная его часть будет двигаться так-то.

Такое изображение (или ряд изображений) воздействует как доказательство. Так, я мог бы, например, сконструировать то, как будет двигаться в механизме точка X.

X

А разве не странно то, что с первого взгляда бывает неясно, как изображение определенного периода при делении убеждает нас в повторении ряда цифр?

(Мне трудно отделить внутреннее отношение от внешнего — и изображение от предсказания.)

Двойственный характер Математического предложения — как закона и как правила. 22.

Что, если бы вместо «интуиция» говорили «правильное отгадывание»? Это представило бы ценность интуиции в совершенно ином свете. Ибо феномен отгадывания — это психологический феномен, каковым не является феномен правильного отгадывания. 23.

То, что мы обучены технике, обусловливает то, что теперь, глядя на это изображение, мы изменяем его так и этак.

«Мы решаемся на новую языковую игру».

«„Мы, скажем так, спонтанно решаемся" на новую языковую игру». 24.

Да; — функционируй наша память иначе, мы, по-видимому* не могли бы производить вычисления так, как делаем это. А мог- ли бы мы тогда давать определения так, как мы это делаем, говорить и писать так, как мы это делаем?

Как же можно описывать основы нашего языка эмпирическими предложениями?! 25.

Предположим, что деление, если бы мы его полностью выполнили, не приводило бы к тому же результату, что и воспроизведение его периода. Это могло бы происходить, например, оттого, что мы, не осознавая этого, изменили бы наши счетные таблицы. (Хотя к этому мог бы привести и иной способ воспроизведения.) 26.

Какая разница между тем, чтобы невычислять и вычислять неправильно? — Или: существует ли четкая граница между тем, что время не измеряют, и тем, что его измеряют неверно? Между незнанием об измерении времени вообще и знанием о неверном измерении? 27.

Обрати внимание на болтовню, с помощью которой мы убеждаем кого-то в истинности какого-либо математического предложения. Она позволяет сделать выводы о функции этого убеждения. Я имею в виду ту болтовню, которая пробуждает интуицию. Тем самым запускается в действие машина счетной техники. 28.

Можно ли сказать, что тот, кто обучается технике, убеждается в равенстве результатов? 29.

Граница эмпирии — образование понятий.

Какой переход я делаю от «будет так» до «должно быть так»? Я образую другое понятие. Такое, в которое включено то, чего прежде не было. Утверждая: «Если эти производные равны, то должно....» — я видоизменяю критерий равенства. То есть преобразую мое понятие равенства.

Ну, а что, если в подобном случае кто-то заявляет: «Я осознаю не два эти процесса, а только эмпирию, образование и преобразование понятия не осознается мною обособленно, все кажется мне стоящим на службе эмпирии»?

Другими словами: по-видимому, мы не становимся то более, то менее рациональными или же не меняем форм нашего мышления настолько, чтобы в итоге изменялось то, что мы называем «мышлением». Представляется, что мы всегда только приспосабливаем наше мышление к опыту.

Когда кто-то говорит: «Если следовать правилу, это должно быть так», — то очевидно, что у него нет ясного представления об опыте, который соответствовал бы чему-то противоположному.

Или же так: у него нет ясного представления о том, как это выглядело бы, если бы было иначе. И это очень важно. 30.

Что вынуждает нас оформлять понятие равенства так, что мы, например, говорим: «Если оба раза действительно сделать одно и то же, то и получиться должно то же самое»? — Что вынуждает нас действовать по правилу, считать что-либо правилом? Что вынуждает нас говорить с самими собой в формах выученного нами языка?

Так ведь слово «вынуждены» выражает то, что нам не отделаться от этого понятия. (Или следует сказать «склонны»?) В самом деле, даже если я перешел от одной формы понятия к другой, то на заднем плане все еще сохраняется старое понятие. Нельзя ли сказать: «Доказательство подводит нас к определенному решению, а именно к решению принять определенное образование понятия»?

Рассматривай доказательство не как процесс, который тебя вынуждает, а как процесс, который тебя ведет. — Притом он ведет тебя к пониманию (определенного) положения вещей. А как получается, что каждого из нас он ведет так, что мы все согласованно испытываем его влияние? Ну, а как получается, что мы все согласованно считаем? Можно сказать: «Именно так мы приучены, а достигаемая таким образом согласованность подкрепляется доказательством».

В процессе этого доказательства мы сформировали точку зрения, исключающую деление угла на три части с помощью линейки и циркуля.

Признавая некое предложение само собой разумеющимся, мы тем самым освобождаем его от всякой ответственности перед опытом. В процессе доказательства наш взгляд меняется — однако то, что связано с опытом, не наносит ему никакого ущерба. Перестраивается наша точка зрения. 31.

«Должно быть так» не означает «так будет». Напротив: «так будет» выбирает из разных возможностей одну. «Должно быть так» усматривает только одну возможность.

Доказательство вводит наш опыт, так сказать, в определенное русло. Тот, кто снова и снова пытался проделать что-то, после доказательства отказывается от таких попыток. Кто-то пытается сложить из фишек особое изображение. И, увидев образец, где из всех этих фишек выложена часть этого изоб- ражения, отказывается от попытки. Доказательством того, что его намерение невыполнимо, послужил образец. Этот образец, так же как и тот, который показывает ему, что составить изображение из этих фишек можно, изменяет и его понятие. Ибо он еще никогда, можно сказать, не рассматривал задачу составления изображения из этих фишек таким образом. Подразумевается ли тем самым: видя, что из этих фишек можно выложить часть изображения, понимаешь и то, что из них никоим образом нельзя выложить все изображение? Разве нельзя допустить, что человек будет вновь и вновь предпринимать попытки в надежде, что некое расположение фишек все-таки достигнет этой цели? И разве исключено, что он достигнет своей цели? (Например, путем двойного использования бдной фишки?) Не следует ли здесь различать мышление и практический успех мышления? 32.

«...Кто не понимает определенных истин непосредственно, как мы, вынужден идти длинным путем индукции» — так говорит ФРЕГЕ. Меня же интересует именно непосредственное понимание, будь то понимание чего-то истинного или же чего-то ложного. Я спрашиваю: что характеризует поведение людей, которые «непосредственно понимают» что-то, — что всегда служит практическим успехом этого понимания?

Меня интересует не непосредственное понимание определенной истины, а феномен непосредственного понимания. Притом, интересует не как особое душевное явление; его проявление в действии человека — вот что меня занимает. 33.

В самом деле, представляется, что образование понятия как бы вводит наш опыт в определенные рамки, так что теперь мы по-новому видим сочетание одного опыта с другим. (Так же как некий оптический прибор позволяет особым образом соединить свет из разных источников в одной картине.)

Представь себе, что доказательство было бы литературным произведением, скажем пьесой. Разве просмотр такой пьесы не мог бы подводить к чему-либо?

Я бы не знал, что произойдет, — но, увидев некую картину, убеждался, что события развернутся так, как изображается. Картина помогла мне сделать предсказание. Не в качестве эксперимента, она была лишь акушером предсказания.

Ведь каков бы ни был мой опыт в настоящем или прошлом, я все

же должен делать предсказание. (Опыт не сделает его за меня.) Втаком случае не столь уж удивительно, что доказательство помогает нам предсказывать. Без этой картины я бы не мог сказать, что произойдет; видя же картину, я схватываю ее как ориентир для предсказания.

С помощью картины, показывающей вещества в пробирке и реакцию, я не могу предсказать, какой цвет будет иметь химическое соединение. Если бы изображение показывало вспенивание, а в конце красные кристаллы, то я мог бы сказать: «Да, так и должно быть» или «Нет, так не может быть». Но дело обстоит иначе, если я вижу картину механизма в движении; эта картина может сообщить мне, как действительно будет двигаться одна из частей. Однако если бы изображение представляло механизм, части которого состояли бы из очень мягкого материала (например, теста) и поэтому изгибались бы на картине различным образом, то эта картина, вероятно, опять-таки не смогла бы мне помочь сделать предсказание.

Можно ли сказать: понятие формируется таким образом, что оно прилажено к какому-то определенному предсказанию, то есть позволяет сделать его в наиболее простых терминах — ? 34.

Философская проблема такова: как возможно говорить истину, усмиряя при этом столь сильные предрассудки?

Не все равно: считаю ли я что-либо обманом моих чувств или внешним событием, беру ли я этот предмет в качестве меры или наоборот, решаю ли я сделать важнейшими два критерия или только один. 35.

Если вычисление выполнено правильно, результат должен быть таким. Ну, а должно ли так получаться всегда? Конечно. Обученные той или иной технике, мы приучены и к соответствующему способу рассмотрения, сидящему в нас так же прочно, как и такая техника.

В математическом предложении речь не идет, по-видимому, ни о знаках, ни о людях, и потому оно не повествует ни о тех, ни о других.

Оно показывает те связи, которые мы считаем жесткими. Но в известной мере мы отворачиваемся от этих связей и смотрим на что-то другое. Мы как бы поворачиваемся к ним спиной. Или же: мы опираемся на них или основываемся на них. Повторяю еще раз: мы рассматриваем математическое предложе- ние не как предложение, повествующее о знаках, а отсюда оно таковым и не является.

Мы признаем его тем, что поворачиваемся к нему спиной. Как обстоит дело, например, с основными законами механики? Тот, кто их понимает, должен знать, на какой опыт они опираются. Иначе обстоит дело с предложениями чистой математики. 36.

Предложение может описывать картину, а эта картина может быть разнообразно закреплена в нашем способе рассмотрения вещей, а стало быть, в нашем образе жизни и действия.

Не является ли доказательство слишком легковесным основанием для того, чтобы вовсе отказаться от поиска той или иной конструкции трисекции? Ты всего один или два раза прошел ряд знаков и на этом основании хочешь принять решение? Только потому, что увидел одно это преобразование, ты хочешь отказаться от поиска?

Эффект доказательства состоит, я полагаю, в том, что человек попадает во власть новых правил.

До сих пор он производил вычисления по такому-то правилу; и вот кто-то показывает ему доказательство того, что можно вычислять и иначе, и он переключается (на новую технику) — не потому, что говорит себе: так тоже получится, а потому, что воспринимает новую технику как идентичную старой, потому что он должен наделить ее таким же смыслом, потому что признает ее такой же — так же как признает зеленым этот цвет. Это значит: понимание математических отношений играет почти такую же роль, что и понимание тождества. Можно даже сказать, что это более сложный тип тождества.

Можно сказать: причины, по которым он переключается на другую технику, того же типа, что и причины,- которые заставляют его выполнять новое умножение так, как он его выполняет; признавать технику равноценной той, какую он применял в других умножениях. 37.

Человек будет узником в комнате, если дверь не заперта, но открывается внутрь, а ему не приходит в голову потянуть ее на себя вместо того, чтобы толкать. 38.

Стань белое черным, кое-кто из людей скажет: «В сущности, это все еще то же самое». Другие же, потемней цвет на один тон, заявят: «Он совершенно изменился». 39.

Предложения «а = а», «р =э р», «Слово „Бисмарк" состоит из

7 букв», «Не существует красновато-зеленого цвета» равно убедительны и являются предложениями о сущности; что у них общего? Они очевидны каждое на свой манер и по-разному употребляются. Предпоследнее наиболее схоже с эмпирическим предложением. И понятно, что его можно назвать синтетическим предложением a priori.

Можно сказать: не сопоставив ряд чисел с рядом букв, не узнаешь, сколько букв в слове. 40.

Фигура, выведенная из другой по некоему правилу (например, поворот темы).

Затем результат становится эквивалентом операции. 41.

Когда я писал «доказательство должно быть обозримым», это означало: причинность не играет в доказательстве никакой роли. Или же: доказательство должно поддаваться репродуцированию путем простого копирования. 42.

Можно, вероятно, сказать, что синтетический характер математических предложений наиболее явно проявляется в непредсказуемом появлении простых чисел.

Но, будучи синтетическими (в этом смысле), они тем не менее априорны. Я хочу сказать: можно утверждать, что такие предложения нельзя получить из соответствующих понятий путем некоторого рода анализа, но что они, наоборот, устанавливают с помощью синтеза то или иное понятие, подобно тому, как пропускание [излучения] сквозь призмы позволяет определить некое тело. Распределение простых чисел было бы идеальным примером того, что можно назвать синтетическим a priori, ибо можно сказать, что с помощью анализа понятия простого числа его, во всяком случае, не найдешь. 43.

То, что при продолжении деления 1:3 снова и снова должно получаться 3, столь же мало познается интуицией, как и то, что умножение 25 х 25, если его повторять, снова и снова даст тот же результат. 44.

Разве нельзя серьезно говорить об интуиции в математике? Пусть даже то, что постигается интуитивно, было бы не математической, а физической или психологической истиной. Так, я с большой достоверностью знаю, что, умножив 25 х 25, каждый раз буду получать 625. Это значит, что я знаю психологический факт: это вычисление снова и снова будет казаться мне правильным; как знаю и то, что если десять раз подряд по памяти запишу ряд чисел от 1 до 20, то при сверке записи окажутся одинаковыми. — Является ли это фактом опыта? Конечно. И все же было бы трудно указать эксперименты, которые убедили бы меня в нем. Нечто такое можно назвать интуитивно познаваемым фактом опыта. 45.

Ты хочешь сказать, что каждое новое доказательство тем или иным образом изменяет понятие доказательства?

Но по какому принципу что-то признается в качестве нового доказательства? Или же здесь, скорей всего, вообще не существует никакого «принципа». 46.

Ну, а должен ли я сказать: «Мы убеждены в том, что снова и снова будет получаться тот же самый результат»? Нет, этого недостаточно. Мы убеждены, что всегда, будет получаться, вычисляться то же самое вычисление. А является ли это математическим убеждением? Нет — ведь, если бы не всегда вычислялось то же самое, отсюда не следовало бы, что вычисление дает то один результат, то другой.

Мы, конечно же, убеждены также в том, что при повторном вычислении мы повторим образ вычисления. — 47.

Разве нельзя сказать: при умножении в любом случае получают не математический факт, а математическое предложение? Ведь то, что получают, не является математическим фактом, а стало быть это, — математическое предложение. Ведь математическое предложение — это определение понятия, вытекающего из открытия.

Ты получаешь новую фигуру. Теперь ты можешь, например, запомнить или скопировать ее.

Получена, сконструирована новая форма. Используют же ее для

того, чтобы дать вместе со старым новое понятие.

Понятие изменяют так, чтобы это должно было получиться.

Я открываю не результат, а тот путь, каким он достигается. Причем эмпирическим фактом является не то, что этот путь где- то начинается и где-то кончается, а то, что этим или каким-то другим путем я дошел до этого результата. 48.

А разве нельзя сказать, что правила ведут по этому пути, даже если никто по нему не идет?

Так как именно это и хочется сказать, то перед нами здесь математическая машина, движимая самими правилами, послушная только математическим, а не физическим законам. Я хочу сказать: функционирование математической машины — лишь картина действия машины.

Определенное правило не работает, ибо то, что всегда происходит по данному правилу, есть некое истолкование этого правила. 49.

Предположим, что на рисунке изображены стадии движения.

Это помогает мне сформулировать предложение, которое я как бы считываю с этого изображения. Предложение содержит слово «приблизительно» и представляет собой предложение геометрии. Странно, что я должен уметь считывать предложение с изображения.

В предложении же не идет речь об изображении, которое я вижу. В нем не говорится, что на этом изображении можно видеть то- то. Но в нем не говорится и о том, что будет происходить с реальным механизмом, хотя это и подразумевается. А можнобыло бы изобразить движение механизма и иначе, притом, что части механизма не изменяются. То есть не вынужден ли я при этих условиях принять в качестве изображения движения именно это?

Представим себе чертеж фаз работы механизма, выполненный штрихами разного цвета. Пусть штрихи будут частично черные на белом фоне, частично белые на черном фоне. Представь себе чертежи, выполненные таким образом в Евклидовой системе; они потеряют весь свой вид.

50. Перевернутое слово имеет новое обличье.

Что, если говорят: перевернув последовательность 12 3, узнаешь, что, перевернутая, она даст 3 21? Притом узнаешь не свойство этих чернильных штрихов, а последовательность форм. Узнаешь- формалъноесвоисгвоформ. Предложение, выражающее это формальное свойство, доказывается опытом, демонстрирующим возникновение одной формы из другой именно таким образом. Ну, а получает ли при этом тот, кто это узнает, два впечатления? Одно от того, что последовательность переворачивается, другое от того, что получается 3 2 1? А разве у него не могло бы быть впечатление, что 12 3 переворачивается, и все же отсутствовать впечатление, что получается 3 2 1? Пожалуй, скажут: «Такое возможно лишь в силу странной иллюзии». —

В самом деле, нельзя сказать, что это формальное предложение мы узнаем из опыта, — потому что таким опытом его называют лишь в том случае, когда этот процесс приводит к этому результату. Опыт, который имеется в виду, уже состоит из этого процесса с этим результатом.

Поэтому он больше чем опыт: это — ведение некоего образца. Может ли ряд букв быть дважды перевернутым? Например, один раз, акустически, другой— оптически. Предположим, я объясняю кому-нибудь, что значит переворачивание слова на бумаге, что носит такое название. И тут выясняется, что он имеет в виду акустическое переворачивание, то есть что-то, что он хотел бы так назвать и что, однако, не совсем совпадает с переворачиванием написанного. Так что можно сказать: он слышит это как слово-перевертыш. Как если бы при переворачивании слово искажалось. А это могло бы получаться, скажем, тогда, когда бы слово и его перевертыш выговаривались бегло, в противоположность тому случаю, когда их выговаривают по буквам. Или же перевертыш мог бы казаться другим в том случае, если бы слово прочитывалось слева направо и справа налево за один прием. Вполне возможно, что точное, зеркальное отображение некоего профиля, увиденное сразу же после него самого, мы никогда бы не сочли тем же самым профилем, только перевернутым в другую сторону; для того же, чтобы он производил впечатление точного обратного изображения, надо было бы несколько изменить профиль в размерах.

Я ведь хочу сказать, что неправомерно говорить: хотя и можно сомневаться, например, в том, что какое-то длинное слово пере- вернуто верно, но мы знаем, что у слова имеется только один перевертыш.

«Да, если это должен быть обратный порядок в этом смысле, то он может быть только один». Означает ли здесь «в этом смысле»: по этим правилам, или: с этим обличьем? В первом случае предложение было бы тавтологично, во втором ему не обязательно быть истинным. 51.

Представь себе машину, которая «сконструирована так», что переворачивает ряд букв. И представь себе, что мы имеем предложение, утверждающее, что в случае

НО

результатом будет он.—

Правило, каким оно на самом деле предполагалось, представляется некой движущей силой, которая переворачивает идеальный ряд таким образом, — что человек всегда может сделать с реальным рядом.

Стало быть, это механизм, являющийся мерилом, идеалом реального масштаба.

И это понятно. Ведь если результат переворачивания становится критерием того, что ряд действительно был перевернут, и если мы выражаем это, как бы имитируя идеальную машину, то эта машина должна безошибочно порождать этот результат. 52.

А нельзя ли в таком случае сказать, что понятия, создаваемые математикой, просто удобны, что, в сущности, все шло бы своим чередом и без них?

Прежде всего, признание этих понятий выражает уверенное ожидание определенного опыта.

Например, мы не признаем, что умножение не каждый раз дает тот же результат.

А то, чего мы с уверенностью ожидаем, существенно для всей нашей жизни. 53.

Почему же в таком случае не заявить, что математические предложения выражают именно такие определенные ожидания, а стало быть, и опыт? Только потому, что как раз этого они не делают. Принятие того или иного понятия есть признание некой меры, которую я, вероятно, не постиг бы, не ожидай я столь определенно появления соответствующих фактов; вот почему установление этой меры не эквивалентно высказыванию ожиданий. 54. Трудно поместить реальное тело в верную плоскость: рассмат- ривать данность как данное. Трудно разместить тело иначе, не так, как мы привыкли его видеть. Стол в чулане вполне может лежать на столешнице, например из соображений экономии места. Вот так и я всякий раз видел, что данное реальное тело по разным соображениям располагалось так; и вот я должен считать нечто другое его началом и нечто другое его концом. Это трудно. Оно как бы не желает так стоять, пусть даже его поддерживают в этом положении другие сооружения. 55.

Одно дело— употреблять математическую технику, рассчитанную на то, чтобы избегать противоречия, и совсем другое — философствовать, выступая против противоречия в математике. 56.

Противоречие. Почему именно оно является неким призраком? Это ведь очень подозрительно.

Почему вычисление, созданное для практической цели и приведшее к противоречию, не должно просто говорить мне: «Действуй по своему усмотрению, я, вычисление, здесь ничего не решаю». Противоречие можно понимать как знак богов, говорящий мне, что надо действовать, а не размышлять. 57.

«Почему в математике противоречие не должно иметь права на существование?» — А почему оно не имеет права на существование в наших простых языковых играх? (Ведь тут наверняка есть взаимосвязь.) Является ли это основным законом, управляющим всеми мыслимыми языковыми играми?

Предположим, что противоречие, например, в приказе вызывает удивление и нерешительность, — и вот мы говорим: в этом и состоит цель противоречия в данной языковой игре. 58.

Некто приходит к людям и говорит: «Я всегда лгу». Они отвечают: «Что же, тогда мы можем тебе доверять!» — Но мог ли он иметь в виду то, что сказал? Разве не создается впечатления, что он неспособен сказать что-либо действительно истинное, что бы это ни было?

«Я всегда лгу!» — Так что же делать с этим предложением? — «Это тоже была ложь». — Но тогда ты, значит, лжешь не всегда! — «Нет, все ложь!»

Мы, вероятно, сказали бы, что под словами «правда» и «ложь» этот человек имеет в виду нечто иное, чем мы. Возможно, он имеет в виду примерно следующее: то, что он говорит, слишком зыбко, или же что ничего не идет действительно от сердца. Можно также сказать: его «я всегда лгу» не было, собственно го- воря, утверждением. Это было, скорее, восклицанием. Выходит, можно утверждать: «Если он высказал это предложение не бездумно, то он должен толковать эти слова как-то иначе, он не мог толковать их обычным образом, не так ли?» 59.

Почему бы не трактовать РАССЕЛОВСКОЄ противоречие как нечто сверхпропозициональное, нечто, возвышающееся над предложениями и одновременно смотрящее, как голова Януса, в обе стороны! NB. Предложение F(F) — в котором F(?) = — не содержит переменных и потому могло бы считаться чем-то сверхлогическим, чем-то несомненным, отрицание чего лишь вновь утверждало бы его же. В самом деле, разве нельзя было бы даже начать логику с этого противоречия? И от него как бы спуститься к предложениям.

Противоречащее само себе предложение стояло бы, подобно памятнику (с головой Януса), над предложениями логики. 60.

Не страшно: если противоречие возникает в той области, где ни последовательное, ни противоречивое предложения не выполняют никакой работы; опасно другое: не знать, как добраться туда, где противоречие уже ничему не вредит. «Если мое понимание исчисления должно в какой-то момент измениться, если благодаря окружению, которого я сейчас не вижу, должен измениться его аспект — тогда продолжим разговор об этом».

<< | >>
Источник: Витгенштейн Л.. Философские работы. Часть II. Пер. с нем. / Вступ, статья М. С. Козловой. Перевод М. С. Козловой и Ю. А. Асеева. М.: Издательство «Гнозис».. 1994 {original}

Еще по теме Ill 1942 1.:

  1. Ill НА РАСПУТЬИ
  2. Ill ОПЫТ ЧТЕНИЯ
  3. Ill РАННЕВИЗАНТИЙСКОЕ БОГОСЛОВИЕ
  4. Ill ПРАВО И СУДОПРОИЗВОДСТВО
  5. Великолукская операция (25.11.1942 г. - 20.01.1943 г.)
  6. IV 1942-1943 1.
  7. Ill ГЛАВА СЕРБСКАЯ РЕДАКЦИЯ КОРМЧЕЙ
  8. ГЛАВА XXXVI. Тайная дипломатия Афганистана и «пуштунская проблема» в 1942 -1943 гг.
  9. Часть II КОГДА БОГИ НАСТУПАЮТ (осенне-зимняя кампания 1942 г.)
  10. ДРЕВНЕЙШИЕ ГОСУДАРСТВА В ДОЛИНЕ НИЛА и ДВУРЕЧЬЕ (IV — Ill тысячелетие до н. э.)
  11. Часть I ХУК ПРАВОЙ (Летне-осенняя кампания 1942 г.)
  12. Ill БУГЕНВИЛЬ.
  13. § 3. Военно-политические события второй мировой войны в 1941 - 1942 г.
  14. Беспокоящие действия русских войск на других фронтах летом 1942 г.
  15. ГЛАВА XXXV. Деятельность спецслужб стран «оси» в Афганистане и воне пуштунских пленен в 1942 -1943 гг.
  16. Ill О делении метафизики нравов 33
  17. ill КРУШЕНИЕ РЕАЛИСТИЧЕСКОЙ ЭСХАТОЛОГИИ