Проблемы оснований математики.

Крушение планов всеохватывающего философского синтеза знаний на базе гегельянства побудило Рассела к поиску иного поля приложения сил. На рубеже XIX и XX в. он обращается к исследованию оснований математики.
В процессе обуче- ния в университете математика предстала перед Расселом как набор замысловатых технических приемов, которые нужно усвоить, не требуя обоснования. Позднее он вспоминал: не зная правильных доказательств фундаментальных теорем для исчисления бесконечно малых, учителя старались убедить его принять на веру формальные трюки математического анализа (дифференциального и интегрального исчислений). Из-за шаткости начал вся математика теряла образ ясной и логичной системы задач и теорем. О серьезных исследованиях начал математики, которые велись на протяжении всего XIX в. и дали впечатляющие результаты, Рассел с опозданием узнал лишь в 1900 г. Труды К.Вейерпгграсса и Г.Кантора по теории чисел и теории множеств открыли ему проблематику оснований математики, занимавшую в это время умы ведущих теоретиков. Параллельно с новым погружением в математику он под влиянием Лейбница существенно переосмысливает собственные философские позиции, наконец, на международном конгрессе по философии, логике, истории науки (Париж, 1900), знакомится с математической логикой. Аналитическая мощь идей и технических приемов новой логики произвели на Рассела сильное впечатление. Все это определило его научные интересы на следующие десять лет.

К концу XIX в. были достигнуты большие успехи в систематизации и строгом обосновании математики и казалось, что эта трудная работа (длившаяся уже целое столетие) близка к завершению. Математиками владело убеждение, что грандиозное здание математического анализа "приобретает несокрушимую крепость, оказываясь прочно заложенным и строго обоснованным во всех своих частях"17. Но возникло неожиданное препятствие: в самом фундаменте математики выявились логические противоречия. Первый парадокс, относившийся к теории трансфинитных (бесконечных) порядковых чисел, стал достоянием математиков в 1897 г. За этим последовало открытие целого ряда других парадоксов18. Под ударом оказалась и логико-математическая система Г. Фреге, в которой было обнаружено противоречие, известное как "парадокс класса классов" ( Рассел, 1902). Попытки спасти положение не давали результата: как бы в насмешку над математиками обнаруживались все новые и новые парадоксы. Ситуация стала обескураживающей. Вот как это выразил крупнейший математик первой половины XXв. Д.Гильберт: "...состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце достоверности и истинности — образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости.

Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?"19. Напрашивался вывод: логика в том интуитивном виде, какой она имела в конце прошлого столетия, не годится в качестве критерия строгости математического доказательства20. Кризис оснований математики потребовал тщательного анализа логики рассуждения, логических механизмов действия языка.

У истоков современного логического исследования языка стояли Фреге и Рассел. Именно они задали вопросы, поиски ответов на которые потребовали так много усилий логиков, лингвистов, философов в последующие десятилетия.

Б.Рассел и А.Уайтхед в 1900 г. приступили к исследованию основа- ний математики, которое после десяти лет напряженного труда увенчалось трехтомным сочинением "Начала математики" (Principia Mathe- matica — сокращенно PM). Авторы стремились осуществить сформулированную Г.Фреге программу логицизма (доказать, что чистая математика есть ветвь логики), исключив, однако, закравшиеся в его труд логические противоречия. Поставленная задача была успешно решена. Для многих проблем обоснования математики, которые прежде исследовались достаточно умозрительно, были найдены строгие решения с помощью логико-математических методов. Труд РМ был воспринят современниками как математический, логический и философский триумф. Математические проблемы тесно переплелись в нем с проблемами логико-философскими, решение которых выпало на долю Рассела.

Расселом двигало стремление подвести под математическое знание надежный логический фундамент. Первой попыткой в этом направлении стали "Принципы математики", труд, увидевшей свет в 1903 г. Приняв программу логицизма, он проникся убеждением, что ни одно понятие, ни одна аксиома не должны приниматься на веру. Предполагалось: логика и математика в принципе однородны; как простейшие законы логики, так и сложные теоремы математики выводимы из небольшого набора элементарных идей; математика — это по сути та же логика, только более зрелая, развитая. Эта последняя мысль уже была высказана к тому времени Фреге, анализировавшим арифметику исключительно на базе логических операций. Понятно, что особая ответственность в программе логицизма возлагалась на решение сложных логических проблем, прежде всего на устранение парадоксов. Получилось так, что философские взгляды Фреге (платонизм) помешали ему найти выход из кризиса основ математики и реализовать свои блестящие идеи логического анализа языка и развития аналитической философии. Это удалось сделать Расселу и во многом благодаря принципиально иной философской платформе, соответствовавшей самой технологии и процедурам логического анализа.

<< | >>
Источник: Н. В. Мотрошилова и проф. А. М. Руткевич. История философии: Запад-Россия—Восток (книга третья: Философия XIX — XX в.). 2-е изд. — М.: «Греко- латинский кабинет» Ю. А. Шичалина. — 448 с.. 1999

Еще по теме Проблемы оснований математики.:

  1. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ (К публикации заметок Л. Витгенштейна)
  2. Из истории математики. Поиск оснований.
  3. Кризис логических оснований математики.
  4. Жуков Н.И.. Философские основания математики Мн.: Университетское.- 110 с., 1990
  5. От кризиса оснований математики к феноменологии Гуссерля
  6. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОГРАММА СПЕЦКУРСА „ФИЛОСОФСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ" (для студентов)
  7. ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ I Около 1937-1938
  8. Глава III ПРОБЛЕМА ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
  9. ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ, РЕКОМЕНДУЕМЫХ ДЛЯ МЕТОДОЛОГИЧЕСКОГО СЕМИНАРА ПО ФИЛОСОФСКИМ ПРОБЛЕМАМ МАТЕМАТИКИ (иа три года занятий с преподавателями)
  10. «Отдадим честь уроку математики», или Диалоги на математике Ольга КУЗНЕЦОВА, Светлана ПЕТРЕНКО
  11. 6. Проблема давности владения как основания приобретения права собственности
  12. К ПРОБЛЕМЕ МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКИХ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИХ ОСНОВАНИЙ ИССЛЕДОВАНИЯ ФЕНОМЕНА ИГРЫ Тлеубаев С.Ш.
  13. 5. Различие в основаниях возникновения права собственности на движимые и недвижимые вещи. Проблема защиты прав добросовестного приобретателя
  14. 1. СОКРАТ И ОСНОВАНИЕ ФИЛОСОФИИ ЗАПАДНОЙ МОРАЛИ 1.1. Жизнь Сократа и проблема источников
  15. РАЗДЕЛ ВТОРОЙ О ПРИНЦИПЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩЕГО ОСНОВАНИЯ, КОТОРЫЙ ОБЫЧНО НАЗЫВАЕТСЯ ПРИНЦИПОМ ДОСТАТОЧНОГО ОСНОВАНИЯ
  16. МАТЕМАТИКА
  17. Математики
  18. 2. Торжествующая математика
  19. 3. Трансцендентализм и математика