<<
>>

§ 21. Картографические проекции


Математическая основа морских карт. Картографическая проекция, масштаб, геодезическая основа и компоновка карты (ее картографическое изображение) составляют математическую основу МК.

Картографической проекцией называется всякий математически выраженный условный способ изображения поверхности Земли (или ее части) на плоскости.

На картографической проекции положение любой точки вполне определяется двумя ее картографическими координатами: плоскими прямоугольными х и у либо плоскими полярными р и б. Картографические координаты любой точки, изображенной в данной проекции, связаны с географическими координатами той же точки на земной поверхности определенным видом функциональной зависимости, например,
х = fI (ф; X) и у = }2 (ср; X).              (40)
Явный вид этих функций и определяет способ изображения земной поверхности на плоскости. Функции fi и [2 в выражениях (40) должны быть непрерывными и однозначными: только в этом случае каждой точке картографической поверхности будет соответствовать одна и только одна, вполне определенная точка на земной поверхности, т. е. непрерывной линии перемещения некоторой точки на земной поверхности будет соответствовать непрерывная линия перемещения ее изображения на плоскости карты.
Совокупность линий, изображающих любые координатные линии (например, географические меридианы и параллели) на карте, называется картографической сеткой. Видов картографических проекций множество. Картографическую проекцию для построения морской карты выбирают в зависимости от назначения карты. Так, понятно, что путь судна, следующего постоянным курсом, легче и проще вычерчивать в виде прямой линии — локсодромии. Поэтому морские карты желательно составлять в такой проекции, на которой линия постоянного курса изображалась бы прямой линией. Далее, при следовании в море судно стремится как можно ближе держаться к выбранному пути. Однако различные внешние факторы систематически отклоняют судно от выбранного пути и требуется определять его место различными способами, большинство которых основано на измерении углов на местности между какими-либо направлениями с последующим перенесением таких углов на карту. Цаносить на карту измеренные на местности углы несравненно проще в том случае, если карта построена в равноугольной проекции, и т. д.
Вне зависимости от характера картографической проекции при составлении карты всегда уменьшают действительные размеры участков земной поверхности, т. е. изображают их в определенном масштабе.
Масштабом называют отношение длины какой-нибудь линии на карте к длине той же линии на земной поверхности. Различают два вида масштабов: числовой и линейный. Числовой масштаб — дробь, числитель которой — единица, а знаменатель — число, показывающее, скольким единицам длины на местности равна одна единица длины на карте. Например, дробь 1 /200 ООО означает, что одной любой единице длины на карте соответствует 200 000 таких же единиц длины на местности. Линейный масштаб указывает, какое число

более крупных единиц расстояния на местности содержится в одной более мелкой единице на карте, например, 5 миль в 1 см. Для перехода от числового масштаба к линейному знаменатель числового масштаба делят на длину морской мили, выраженную в тех единицах,              *
к которым приводится линейный масштаб.
Так, например, числовой масштаб 1/200 000, тогда линейный масштаб будет 200 000/(1852 X X ЮО) = 1,03 мили в 1 см. Для перехода от линейного масштаба к числовому линейную длину изображения одной мили на карте делят на длину морской мили в тех же единицах, в которых длина мили дана на карте. Например, линейный масштаб 5 миль в 1 см, тогда числовой масштаб 1/(1852• 100-5) = 1/926 000.
От масштаба зависит предельная точность, с которой можно производить измерения на карте. Так как практическая точность графических построений на карте редко превышает 0,2 мм, то под предельной точностью масштаба карты подразумевают расстояние на местности, соответствующее 0,2 мм на карте. Так, для карты с масштабом 1:200 000 такая предельная точность будет 40 м (так как 1 мм соответствует 200 000 мм, а 0,2 мм — 40 000 мм = 4000 см = 40 м).              ’!
Геодезическая основа представляет собой координаты опорных              .
пунктов, которые используют при построении данной карты; такие опорные пункты определяют географическое (плановое и высотное)              «
положение всех точек данной карты. Высотной основой МК для показа глубин является нуль глубин (НГ). Для морей с высотами приливов менее 50 см за НГ принимается средний многолетний уровень данного моря, для морей с высотами приливов более 50 см — теоретический НГ — наименьший уровень данного моря, возможный по астрономическим условиям; для иностранных вод — НГ, указанный на исходных картографических материалах, использованных для построения карты. Перед началом пользования картой необходимо.              ‘
обязательно прочитать в ее заголовке о НГ.
Картографическое изображение МК ограничивается внутренней (градусной) рамкой карты, на некотором расстоянии от которой вычерчивают внешнюю рамку карты (рис. 52), являющуюся лишь
Внутренняя
»б° (градусная)
внешняя
Рис. 52. Внутренняя и внешняя рамки морской навигационной карты
Рис. 53. Локсодромия на сфере

элементом оформления; материал карты, расположенный за внешней рамкой, называется зарамочными полями.
Нарезка МК — это ее границы, очерченные внутренней рамкой. В целях сохранения непрерывности навигационной прокладки во время плавания и удобства перехода с карты на карту соседние одномасштабные карты имеют взаимные перекрытия, называемые находами. Каждая отдельная карта охватывает определенный географический район и, несмотря на связь с соседними картами, является самостоятельным и законченным картографическим произведением. Каждой МК присваивается свой номер, называемый адмиралтейским. Номера советских МК — пятизначные: первая цифра обозначает океан; вторая — масштаб (тип) карты; третья — район (море); четвертая и пятая — порядковый номер карты в данном районе (море). Например, номер 22217 означает, что данная карта относится к северной части Атлантического океана; ее масштаб 1:200 ООО — 1:300 ООО; Северное море; порядковый номер — 17.
Меркаторская проекция. Для составления МНК в поясе широт 0—85° применяется проекция Меркатора. Она обладает двумя важнейшими свойствами: проекция равноугольна и, таким образом, обеспечивает подобие фигур на карте и на местности; линия постоянного курса — локсодромия — изображается на карте в проекции Меркатора в виде прямой линии.
Известно, что кратчайшим расстоянием между двумя точками на поверхности земного шара является дуга большого круга — ортодромия, пересекающая все меридианы под разными углами. Поэтому при плавании по ортодромии приходится постоянно менять курс судна, производить трудоемкие и громоздкие вычисления. В этой связи к плаванию по ортодромии прибегают только при больших океанских переходах. Меньшие же переходы осуществляют на постоянном курсе, линия которого на поверхности земного шара представляет собой линию двоякой кривизны — локсодромию, которая пересекает все меридианы под одним и тем же углом, спиралеобразно приближаясь к земному полюсу. Локсодромия на рис. 53 представлена дугой М0С; Mi (ф|, A,i) и М2 (ф2, Х2) — две произвольные точки на локсодромии; К — угол пересечения локсодромии с-земными меридианами. Из треугольника MMiM2, который из-за малых размеров можно считать плоским и прямоугольным при вершине М, следует, что
ММ2 = ММ 1 tg к.
В то же время, так как радиус любой параллели
АО' = cos ф, т. е. г — R cos ср,
длина дуги любой параллели и дуги экватора, заключенных между одними и теми же меридианами, связана следующими соотношениями:

/. . .. ,


(42)

Сравнивая выражения (41) и (42), можно записать следующее:
DF = ММ| tg К sec ф              (43)
Обозначим DF = ДА, и ЛШ| = Дф. Тогда, переходя к дифференциалам, выражение (43) может быть переписано так:
dX = (tg К/cos ф) dqgt;,              (44)
на основании чего можно записать
h              ф2
\dl = 5 (tg K/cos ф) dtf.              (45)
Xl              ф!
Так как tg /С — постоянная величина, то уравнение локсодромии на земном шаре получает следующий окончательный вид:
Я2 — X, = [In tg (45° + фг/2) — In tg (45° + ipi/2)] tg К.              (46)
Нормальная проекция Меркатора была впервые предложена в 1569 г. голландским ученым Герардом Кремером, носившим латинизированный псевдоним — Меркатор. В этой проекции географические меридианы изображаются прямыми, параллельными друг другу линиями, перпендикулярными другой системе параллельных между собой прямых линий, изображающих географические параллели (рис. 54). Без дополнительных математических доказательств понятно, что на такой картографической сетке линия постоянного курса (локсодромия) может быть только прямой линией. Проведем такую прямую линию через произвольные точки проекции а и Ь, прямоуголь-
У

Рис. 54. Меркаторская проекция (нормальная)





ные координаты которых ха, уа и хь, уь соответственно. Если теперь предположить, что ось ординат оу совпадает с гринвичским меридианом, а ось абсцисс ох — с экватором, тогда х, = RK, т. е.
Ха = RXа И Хь = RU
или              (47)
Хь Ха := R (Хь Ха) •
Уравнение прямой, проходящей через две точки а и Ь, имеет следующий вид:
Хь — Ха = (УЬ — Уа) tg К              (48)
или, учитывая выражение (47),
R (Хь — Ха) = (уь — Уа) tg К.              (49)
Применяя уравнение (46) локсодромии на земном шаре и выражение (49), можно заключить, что
уь- Уа = R [In tg (45° + ф„/2) - In tg (45°              + lt;fa/2)\.              (50)
Из уравнения (47) следует, что расстояние              между              двумя мери
дианами (хь — ха) всегда пропорционально разности долгот этих меридианов вне зависимости от удаления меридианов от Гринвича.
В то же время из уравнения (50) следует, что расстояние между двумя параллелями (уь — уа) не пропорционально разности их широт, а представляет собой более сложную зависимость. Так, если предположить, что на рис. 54 ad = cb = mr = It представляют собой Г дуги разности долгот, a db = ас = tr = 1т — Г дуги разности широт, то фигура Imrt (и acbd), изображающая практически квадратный контур земной поверхности LMRT со стороной в V дуги, квадратом на проекции не окажется, а представит собой, в общем случае, прямоугольник. Таким образом, для сохранения подобия (конформности) проекции, т. е. для сохранения «квадратного вида» фигуры acbd, необходимо У экватора и Г дуги меридиана изображать на проекции различными по длине отрезками: первую — в виде постоянной длины; вторую — в виде переменной длины, зависящей от широты (т. е. от удаления изображаемой параллели от экватора по меридиану). Заметим, что Г дуги меридиана на земной поверхности представляет собой стандартную (постоянную) единицу измерения длин — морскую милю. Следовательно, на данной проекции морская миля будет изображаться отрезками различной длины в зависимости от широты места. Другими словами, для сохранения конформности на проекции Меркатора масштаб долгот будет по- \ стоянным, а масштаб широт — переменным.
Далее, из уравнения (50) следует, что расстояние у, любой параллели на проекции Меркатора от экватора по меридиану определяется следующим выражением:
у, = /?1п tg (45° + ф,/2) = D,.              (51)
Поэтому еще раз подчеркнем, что для того, чтобы меркаторская проекция была равноугольна (конформна), необходимо и достаточно

проводить изображение любой параллели на ней на расстоянии от экватора по меридиану, равном Д = у, и определяемом уравнением (51). При построении карты в меркаторской проекции такие расстояния удобнее измерять в постоянных для данной проекции единицах длины, т. е. в минутах дуги экватора. Величина Д, выраженная в минутах дуги экватора или параллели, что для данной проекции одно и то же (см. рис. 54), называется меридиональной частью данной параллели, а разность вида
?)2 - ?gt;, = уь - Уа = R [In tg (45° + ф2/2) - In tg (45° + ф,/2)]              (52)
называется разностью меридиональных частей. В МТ приводятся значения меридиональных частей земного сфероида (но не шара), вычисленные по формуле
р/2
D — R In tg (45° + ф/2) [(1 — е sm Ф)/(1 +esin ф)]              ,              (53)
6/2
где [(1 — esinqgt;)/(l +е5Шф)]              —множитель, учитывающий сфероидичность фи
гуры Земли
Итак, длина отрезка меридиана на меркаторской проекции, соответствующая 1 миле в натуре, называется меркаторской милей. В районе экватора такая миля изображается отрезком, вмещающим практически одну экваториальную милю; в широте 60° меркаторская миля изображается уже таким отрезком меридиана, который вмещает две экваториальные мили. Это обстоятельство важно помнить при практической работе на карте в меркаторской проекции: ее горизонтальную рамку используют только для отсчета долгот, а вертикальную — для отсчета широт и расстояний на карте.
Для составления некоторых справочных и вспомогательных карт используют перспективную проекцию; наиболее распространенными перспективными проекциями являются гномоническая (или центральная) и стереографическая. Гномонические карты — древнейшие из всех известных — обладают замечательным свойством: на таких картах дуга большого круга — ортодромия — изображается прямой линией. Стереографическая проекция равноугольна, однако для решения навигационных задач неудобна, так как и ортодромия, и локсодромия изображаются на ней сложными кривыми линиями. Эта про-



Рис 55 Ортодромия и локсодромия на гномонической (а) и меркаторской (б) проекциях
екция является одной из основных для построения справочных и обзорных карт больших территорий.
Наглядное представление об изображении ортодромии (пунктирная линия) и локсодромии (сплошная линия) на гномонической и меркаторской проекциях дает рис. 55.
<< | >>
Источник: Ермолаев Г.Г., Зотеев Е.С.. Основы морского судовождения. 1988

Еще по теме § 21. Картографические проекции:

  1. Картографическая визуализация
  2. Картографические анимации
  3. Математико-картографическое моделирование
  4. 3.2.2.4. Проекция
  5. Конструктивный или картографический способ
  6. Проекция
  7. Раздел 5. Философия и идеология: социально-политические проекции философского знания в эпоху Просвещения
  8. Раздел 5. Философия и идеология: социально-политические проекции философского знания в эпоху Просвещения
  9. ПОЗИТИВНО-ОНТОЛОГИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ КОЭВОЛЮЦИОННОЙ ДИНАМИКИ Глосикова Ольга
  10. ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ ЭВОЛЮЦИИ ПРИРОДНОЙ И СОЦИОКУЛЬТУРНОЙ РЕАЛЬНОСТИ. КОЭВОЛЮЦИЯ КАК ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ ПОЗИТИВНОЙ ОНТОЛОГИИ Глосикова Ольга
  11. Контрперенос
  12. Человеческая ситуация
  13. Информационное н программное обеспечение
  14. Иллюстрация конфронтации