<<
>>

Математики обнаруживают чистую рефлексию

  ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ
Взлет математики Нового времени в 1500-х и начале 1600-х гг. произошел благодаря превращению математики в машину по решению задач. Вербальные методы, с помощью которых ранее проводилась математическая аргументация, были заменены всеохватной символизацией, а что еще более важно — аппаратом оперирования символами в соответствии с правилами.
Математика становилась технологией работы с символами на бумаге, символами, выписанными в виде уравнений; принципы перемещения символов и превращения их друг в друга механическим образом становились как средствами решения конкретных задач, так и ареной обнаружения достоверных обобщений. Были найдены методы решения задач низшего порядка (например, алгебра обеспечивает общие принципы для решения целых классов арифметических задач). Сами эти методы, в свою очередь, могли быть взяты в качестве моделей низшего порядка, для решения которых открывались принципы более высокого порядка. Иными словами, операции низшего порядка могли быть собраны вместе и обозначены неким символом (числа символизируются как алгебраические неизвестные х, у и т. д.; сложение, вычитание и дальнейшие операции могут быть символизированы как функции; функции могут быть также собраны вместе и обозначены как функции функций), а правила оперирования этими символами высшего порядка, в свою очередь, могут быть исследованы. Когда решались первые задачи, предлагались расширения (например, после разработки правил решения алгебраических задач с кубическими уравнениями появляются новые вызовы со стороны конкурирующих математиков относительно решения уравнений четвертой, пятой степени и т. д.).. Вдруг произошло настоящее извержение математических открытий. Эта интеллектуальная сеть стала все более энергично пульсировать по мере того, как обнаруживалось расширяющееся поле исследований. Открывались общие черты алгебраических уравнений и тригонометрии, что, в свою очередь, обогащало старые области математики, такие как геометрия. Внимание привлекалось к более
сложным задачам объемных фигур и конических сечений, что, как оказалось, позволяет представлять движение и открывает путь исчислению lt;бесконечно малыхgt;.
Декарт был первым участником данной сети, достигшим великой славы в связи с описанной выше революцией. Он предложил общие методы для того, что впоследствии стало стандартными формами написания уравнений, обозначения неизвестных и правил оперирования ими. Аналитическая геометрия Декарта, основанная на алгебре, объединила все области математики в единое понятийное царство; разработка этой геометрии также привела к сосредоточению внимания на некоем метапространстве, в котором точки, линии, площади и измерения, выходящие за пределы всего того, что существует в физической вселенной,— все могли быть совмещены в едином процессе математического оперирования. Благодаря Декарту в интеллектуальном мире стал осознаваться метауровень абстракции, поскольку Декарт представлял на обсуждение не только свои конкретные результаты, но также общую теорию уравнений, указывая на высшие измерения математики. Наибольшую значимость имело обращение Декарта к другим областям познания с вестью о том, что теперь математическое сообщество обладало методом порождения потока новых и достоверных результатов — машиной по получению открытий.

Исследование области, открывшейся благодаря этой машине по получению открытий, и составило первую волну современной математики. Около 1800 г. поднялась вторая волна развития математической абстракции и соответствующих открытий. На этот раз взлету абстракции предшествовала возраставшая рефлексивность относительно того, чем же занимаются сами математики. Растущее самосознание приводило к пониманию: сама по себе математика — это изучение не вещей, но своих собственных операций. Вторая волна высшей математики была порождена неким организационным сдвигом — возникновением академических должностей, академических сетей и академических изданий, благодаря которым можно было заниматься математикой независимо от физических наук и их приложений. «Машинерия математики» стала подвергаться анализу сама по себе, помимо получаемых результатов относительно обобщений, касающихся мира природы. Практические методы предыдущего периода, когда исследовались различные области исчисления lt;бесконечно малыхgt;, начали теперь подвергаться критике за отсутствие строгости, за применение таких операций, как сокращение членов или деление на нуль, а также за допущение таких понятий, как ряды, никогда явным образом не сходящиеся.
Строгость стала новым стандартом для этой состязательной игры, которая велась теперь на собственной абстрактной территории. Концептуально сомнительные методы более не могли оправдываться тем, что они ведут к хорошим результатам в физике и инженерии; в то же самое время во взаимных состязательных вызовах между математиками были установлены новые стандарты
обоснованности доказательств. Эта намеренно усложнявшаяся игра, как оказалось, привела к успеху; вместо того, чтобы остаться лишь бесполезной изощренностью, строгость открыла для исследования широкую новую область абстрактной математики. Вновь была запущена машинерия по получению открытий, на этот раз на еще более высоком уровне. Аксиоматический метод, состоящий в точном перечислении правил оперирования, применялся не только к геометрии (где набор ограничивающих и соответствующих физическому здравому смыслу принципов служил стандартом еще со времен Евклида), но также и к алгебре, а затем и к еще более абстрактным областям, таким как теория групп.
Поход в открывавшееся математическое царство оказался особенно волнующим благодаря опыту обнаружения все новых и новых парадоксов; появлялись структуры, казавшиеся абсурдными с точки зрения ранее принятых понятий математической реальности,— странные «математические существа», вызывавшие негодование у традиционалистов. Был приведен в движение самоусиливаю- щийся цикл: конфликты вокруг парадоксов сообщали энергию упорным попыткам по их преодолению посредством более строгого исследования аксиоматических оснований и прояснения операций той математической машинерии, которая эти основания порождала. Дальнейшая аксиоматизация и возраставшая строгость позволяли исследовать наборы аксиом других типов и обнаруживать еще более охватывающие уровни абстрактного пространства, в котором могли быть найдены парадоксальные категории. Теперь уже не только пространственная наглядность, но и любое принятие самоочевидных процедур или понятий попадали под подозрение.
Открывались новые обширные области высшей математики. Вместе с тем все более обострялся конфликт между исполненными наибольшего энтузиазма исследователями областей свободного математического изобретательства — такими как Георг Кантор с его многочисленными уровнями трансфинитных чисел — и противниками подобных подходов, заявлявшими, что сама строгость должна основываться на надежном наглядном восприятии реальности. Математика — этот освященный временем стандарт абсолютной определенности и бесспорного согласия — теперь распадалась в разразившемся конфликте по поводу собственных оснований. В тот момент некоторые математики вышли в метаобласть, напоминавшую уже некую ветвь философии, и таким образом возник новый гибрид математической философии.
Математико-философские гибриды от Декарта до Рассела
Ключевые моменты философии Нового времени наступают тогда, когда математическая сеть проникает в область философии. Это происходит естественным образом, поскольку любые темы, разрабатываемые на достаточно высоком уровне абстракции и рефлексии, удаляются от специфических задач первоначальных исследователей-практиков и сталкиваются с областью философии. Ло
своим собственным интересам и склонностям Декарт был математиком и (как бы мы это назвали сейчас) ученым-естественником. Он являлся ключевой фигурой в провозглашении начала математической революции и соответствующей консолидации сил, поскольку синтезировал средства записи (математической нотации), разработанные его предшественниками, и превратил их в машинерию явного оперирования уравнениями. Знаменитая аналитическая геометрия Декарта, опубликованная одной книгой с его же «Учением о методе», показывает, насколько далеко вперед могут быть продвинуты даже самые традиционные части математики с помощью этой новой маШинерии. В своих более широких философских суждениях Декарт распространяет на всю сферу познания веру в lt;есте- ственноgt;научную и математическую революции, а также чувство, что быстрые открытия и очевидность связаны с использованием новой методологической ма- шинерии. Математика стала и его вдохновением, и стандартом в попытках всеохватного дедуцирования всего достоверного знания; целью Декарта был дедуктивный вывод всех научных принципов из свойств протяженной субстанции или материи, заместившей теперь соответствующие категории в неоплатонистской и аристотелианской космологиях.
Благодаря идеям вводных частей системы Декарта в пространство философского внимания влились новые силы; темы cogito и отношений между субстанциями в его дуализме становились теми глубокими затруднениями, на основе которых затем начался взлет уже собственно философского творчества.
Второе важнейшее вторжение из математики произошло, когда Лейбниц, как наиболее напористый разработчик и пропагандист исчисления lt;бесконечно ма- лыхgt;, использовал свое господствующее положение в этой новой области математической изощренности — теперь на порядок более высокой, чем в поколении Декарта,— для разрешения тех же метафизических проблем. Подход Лейбница к головоломке двух субстанций состоял в восстановлении схоластической доктрины: сущность содержит все свои предикаты. Его система исчисления дает вполне соответствующую времени респектабельную аналогию: каждая субстанция включает свои прошлые и будущие состояния, совсем как точка, движущаяся в математической системе координат; поскольку в геометрическом представлении движущаяся точка выглядит как точка покоя, она должна содержать некое дополнительное математическое качество (позже названное «кинетической энергией»), обеспечивающее движение из прошлого в будущее. Исчисление бесконечно малых открыло путь для осмысления отношений второго порядка (и еще более высоких) между отношениями первого порядка. Лейбниц использовал эти идеи для разрешения вопроса, поднятого как в связи с Декартовой идеей протяженной субстанции, так и в противовес материалистической доктрине атомизма, согласно которой вся материальная субстанция делима до бесконечности и поэтому в конечном счете исчезает, превращаясь в ничто. С точки зрения, вдохновленной системой исчисления самого Лейбница, существует некий трансцендентный
порядок, возникающий из исследования модели бесконечных делений, показывающий, как бесконечно малые, несмотря ни на что, составляют твердый надежный континуум. Монадология Лейбница совмещает бесконечный спектр независимых субстанций, сущность каждой из которых логическим образом содержит все свои предикаты, или качества, включая причинные и пространственно- временные отношения. Так математик видит вселенную[533].
Следующий крупный прорыв в метафизике и эпистемологии происходит благодаря Канту. Хотя Кант не является математической «звездой», подобно Декарту и Лейбницу, в начале своей карьеры он изучал математику и естествознание, причем его первые интересы и самые значительные сетевые контакты относились именно к области естествознания и математики. Кант также наследовал позицию Лейбница в философии, представлявшую собой часть вольфианской школы, которая господствовала в прусских университетах; творчество Канта явилось ответом со стороны этой сети при ее встрече с вызовами, прозвучавшими как из религиозного стана, так и от ньютонианцев, составлявших на протяжении всего этого периода «противоволну» по отношению к линии Декарта — Лейбница. Опять же у Канта рассмотрение абстрактных свойств математики стало ключом к его философии. Его главным открытием было понятие синтетического a priori lt;синтетических априорных сужденийgt;. Вплоть до этого времени считалось, что математика резюмирует аналитическое познание — исследование предпосылок, уже заложенных в определениях и аксиомах. Однако подобное познание попросту тавтологично; Кант стремился к версии познания, которое было бы синтетичным, нетавтологичным, расширяющим то, что мы знаем, а не просто проясняющим то, что мы уже знали раньше.
Кант сделал свой решающий шаг, утверждая, что математика фактически не аналитична, но синтетична, хотя и остается при этом априорной. Отсюда следует действительное существование некой формы познания, одновременно и достоверного, и информативного, выходящего за рамки просто познания lt;уже извест- ныхgt; понятий. Кант продолжал свое рассуждение, исследуя категории синтетического априорного рассудка, заключая, что время, пространство и причинность являются теми категориями, сквозь которые непременно фильтруется весь опыт, причем в необходимых закономерностях, соответствующих этим категориям, может формулироваться все достоверное научное знание. Кантовский трансцендентальный метод открывал целое новое игровое поле — фактически два таких поля, или два пути развития — для философов, причем вполне независимо от
того, может ли какая-либо наука быть основана таким способом. Первым был путь к идеализму, конструирующему всю реальность как разработанную сознанием. Другой путь, оказавшийся более продолжительным, связан с критическим аспектом кантовского трансцендентального метода. Это метод «отработки назад» — изучения в любой области опыта необходимых предпосылок того, чтобы сам этот опыт был сформулирован.
Данный метод делает критическую эпистемологию главным философским вопросом. Вместе с тем — и именно этому аспекту было суждено обеспечить почву для мощного развития неокантианства в университетской системе, в которой отпочковывались все новые и новые специальности,— критический метод эпистемологии придает философу статус арбитра при определении условий познания в любой интеллектуальной дисциплине. В поколении самого Канта этот метод распространился со скоростью и силой урагана, поскольку в нем возвещалась автономия интеллектуалов-философов по отношению к теологии и даже превосходство над нею, причем с помощью данного метода философия занимала позицию, устанавливающую условия для познавательных притязаний теологии, как и любой иной области мышления. Кантовская критическая эпистемология была идеологией университетской революции. А.поскольку исследовательский университет стал и с тех пор остается ключевой организационной основой для интеллектуалов, мы все являемся посткантианцами с сознанием, структурированным центральной ролью критической эпистемологии[534].
Эти сдвиги в мышлении от Декарта до Канта были частью одной волны, бегущей от самого истока математической революции. Вторая волна высшей, или рефлексивной, самосознающей абстрактной математики стала катализатором развития философских направлений на рубеже XIX и XX вв. Волна начиналась с мыслителей, делавших (по крайней мере, поначалу) математическую карьеру,— таковы Фреге, Гуссерль, Рассел, а затем разделилась, дав не только логический позитивизм Венского кружка и в целом аналитическую философию, но также феноменологию и экзистенциализм. Математический сдвиг к строгости, рефлексии и целенаправленному созданию формальных систем высокого порядка послужил для философии стимулом в нескольких отношениях. Рефлексия и абстракция высокого порядка становились самостоятельными темами обсуждения, ведущими к таким конструкциям, как расселовская теория типов и гуссерлевские слои феноменологической редукции, или epoche. Высшая математика вдохновляла создание новых языков, причем первопроходцем в логике стал Фреге, а его последователи пытались проводить такого рода работу во всех языковых областях. В
результате обнаружились новые глубокие затруднения в споре по поводу оснований математики, который был теперь обобщен и переведен на философскую почву, что сообщило новую энергию интеллектуальному действу в Кембридже, Гёттингене и Вене.
История высшей математики — это восхождение по уровням абстракции по мере продолжения поиска все более широких обобщений. Фактически, арифметика создавалась как обобщение принципов счета, в котором подводится итог правилам получения результатов при совершении операций разного рода (объединение вещей, удаление некоторых, разделение на части, перегруппировка). Алгебра предоставляет обобщения более высокого порядка, касающиеся целых классов операций, которые могли быть выполнены в арифметике (соответственно всегда можно проверить алгебраическое уравнение на конкретном числовом примере). Суть взлета высшей математики примерно во времена Тартальи и Кардано заключалась в формулировании принципов еще более высокого порядка относительно решения целых классов уравнений; это в свою очередь привело к возникновению дальнейших вопросов, в частности о том, возможны ли общие решения в различных областях (например, знаменитая, проблема возможности общего решеция уравнений пятой степени — своего рода момент начала взрывного развития высшей математики в 1820-х гг.). Революция высшей математики состояла в переходе к еще более высоким уровням абстракции для работы с такими метатемами, как теория групп. Это оказалось революционным, поскольку математиков теперь осенило, что их делом является исследование последовательных уровней абстракции и что они могут по своей воле создавать абстрактные системы либо для решения собственных задач, либо же для свободного творческого изучения этих областей. Неевклидовы геометрии появились, когда было осознано, что геометрические построения больше не нужно связывать с приемлемыми физическими репрезентациями; в то же самое время были изобретены альтернативные алгебры на основе целенаправленного варьирования аксиоматических наборов операций, составляющих фундамент общепринятой алгебры.
Повышение рефлексии, продолжавшееся вместе с этим движением, шло в двух направлениях: восхождение к еще более высоким уровням абстракции, а также возврат и извлечение на свет тех понятий, которые в предшествовавшей истории математики использовались как само собой разумеющиеся — в нерет флексивной манере. Высшая алгебра была создана, когда математики осознали, что набор аксиом, лежащих в основе элементарной алгебры,— это лишь один из возможных абстрактных наборов. Еще более углубляясь, исследователь сталкивается с арифметикой, а затем и с понятием самого числа. Здесь уже консервативная математика провела ограничительную линию, что проявилось в заявлении Кронекера: «Бог создал целые числа, а человек придумал все остальное!» и в нападках на несообразности и парадоксы революционной математики в самых ее крайних формах. Тем не менее эта область также была открыта благодаря агрес
сивному напору со стороны Кантора и Фреге. Экстраполируя путь прежних революционных перестроек, Фреге осознал, что числа — это не элементарные вещи, они возникают в системах операций, причем на самом деле эти операции имеют множество измерений. Как Кантор различал несколько типов бесконечности с помощью нескольких способов счета, так и Фреге различал кардинальные и порядковые свойства чисел. Исследуя в более общем смысле операции, лежащие в основе использования знака равенства (=) в уравнении, Фреге обнаружил множество аспектов в понятии равенства, принимаемом нами как нечто само собой разумеющееся; при дальнейшем обобщении это стало различением между смыслом и значением (референцией). В том же духе Фреге провел реформу всей системы обозначений и операций, составлявшей традиционную логику. Он заменил принимавшиеся как очевидные понятия субъекта и предиката, смоделированные по языковым образцам, на некую формальную систему, причем данная система делает явными множественные аспекты операций, выявленных в математическом исследовании чисел. Перед нами именно та машинерия, в которой Рассел увидел революционную роль уже для философии, подобно тому как с помощью машинерии уравнений Декарт привел к взлету и мощному развитию математику Нового времени.
И вновь, вместо движения по прямому пути решения всех задач с помощью нового орудия, творчество стало разветвляться на увиденном в новом свете базовом уровне. Философски плодотворным движение Фреге и Рассела сделала не столько его признанная направленность — техническое упражнение по переводу философских проблем на новый формальный язык и тем самым прояснение их и окончательное избавление от путаницы, сколько именно обнаружение на этом пути глубоких затруднений. Рассел стал более знаменит благодаря своей теории типов — механизму преодоления глубоких затруднений, а не своей логицистской программе самой по себе. Настоящая слава пришла к данному движению с появлением Витгенштейна, построившего некую метасистему, с помощью которой он боролся с общими трудностями иерархических программ, таких как теория типов; слава эта также была связана с деятельностью Венского кружка, воспринявшего расселовский логицизм в качестве революционного оружия для устранения раз и навсегда всех ошибок и заблуждений философии. После фейерверков ярких идей на первых этапах интеллектуальной битвы, в качестве новой области философствования установилась следующая проблематика: какие типы вещей высказываемы в различных видах систем обозначений, или символизации? В некотором смысле Витгенштейн развил кантовское открытие синтетического а priori: то, что ранее было принято как просто условные и тавтологичные символы, оказалось целой областью с собственными контурами, неизведанной землей, которую нужно исследовать и в которой могли быть сделаны открытия далеко за пределами само собой разумеющегося, характерного для прошлой истории или для «здравого смысла». Здесь происходит во многом то же самое, что делает
высшая математика во всей полноте своего рефлексивного сознания; вот почему мы можем сказать, что математическая последовательность абстракции-рефлек- сии стала побудительным началом для философской последовательности абстракции-рефлексии в Европе Нового времени. 
<< | >>
Источник: РЭНДАЛЛ КОЛЛИНЗ. Социология философий: глобальная теория интеллектуального изменения. 2002

Еще по теме Математики обнаруживают чистую рефлексию:

  1. «Отдадим честь уроку математики», или Диалоги на математике Ольга КУЗНЕЦОВА, Светлана ПЕТРЕНКО
  2. ПОЧЕМУ АМЕРИКАНЦЫ ОБНАРУЖИВАЮТ БОЛЬШУЮ СПОСОБНОСТЬ И СКЛОННОСТЬ К ОБЩИМ ИДЕЯМ, ЧЕМ ИХ АНГЛИЙСКИЕ ПРЕДКИ
  3. ПОЧЕМУ АМЕРИКАНЦЫ НЕ СТОЛЬ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫ У СЕБЯ НА РОДИНЕ И ОБНАРУЖИВАЮТ ТАКУЮ ОБИДЧИВОСТЬ, КОГДА НАХОДЯТСЯ В НАШЕЙ СТРАНЕ
  4. Архетипы и рефлексы
  5. 5. Рефлексы на свободе
  6. 3 1 . РЕФЛЕКС КАК ОСНОВНОЙ МЕХАНИЗМ НЕРВНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
  7. 3. Интерпретация и рефлексия
  8. МАССОВАЯ КОММУНИКАЦИЯ В КУЛЬТУРНОЙ И НАУЧНОЙ РЕФЛЕКСИИ
  9. И. П. Павлов: теория условных рефлексов 1. Онтология
  10. 4. Понятие "Схемообразующая рефлексия"
  11. Континуум абстракции и рефлексии
  12. АКМЕОЛВГИЧЕСКИЕ СМЫСЛЫ РЕФЛЕКСИИ
  13. ГЛАВА I О том, что Божество непостижимо и что не должно делать исследований и обнаруживать любопытство относительно того, что не передано нам святыми пророками, апостолами и евангелистами
  14. МЕТОДИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕФЛЕКСИИ
  15. 2. КИТАЙСКАЯ МОДЕЛЬ РЕФЛЕКСИИ
  16. 5.1.7. Самооценка уровня онтогенетической рефлексии